Найти все условия для последовательности

[Sicker]

Пусть дана последовательность $b_i$ действительных чисел. Требуется найти все условия, которые определяют вид этой последовательности такие, чтобы
1. $\sum b_i\sqrt{|a_i|}\geqslant 0$ для любых $a_i$, удовлетворяющих $\sum a_i=0$, где $a_i$ \in R
2. $\sum b_i a_i^2 \geqslant 0$ для любых $a_i$, удовлетворяющих $\sum a_i=0$, где $a_i \in R$

[svv]

В последовательности $(b_i)$ не найдётся двух различных отрицательных элементов: $b_p, b_q$.
Иначе возьмём $a_p=1, a_q=-1$, остальные $a_i=0$, тогда
$\sum\limits_i b_i \sqrt{|a_i|}=\sum\limits_i b_i a_i^2=b_p+b_q<0\,,$
что противоречит условию.

В последовательности $(b_i)$ не может быть даже одного отрицательного элемента $b_p$, такого, что $|b_p|>|b_q|$ для некоторого $q$.

А вот если все $b_i\geqslant 0$, всё будет в порядке при любых $a_i$, лишь бы ряды сходились.

Остаётся выяснить детальнее, каким может быть один отрицательный элемент.

[Sicker]

svv
Да, идете в верном направлении Самое нетривиальное - это найти условие на этот один отрицательный элемент для двух случаев

[waxtep]

То есть, если обозначить модуль этого единственного отрицательного элемента за $b$, должно быть $\sum{b_if(a_i)}\geqslant bf(-\sum{a_i})$, где суммирование ведется по всем индексам кроме этого одного, для любых значений $a_i$ и для заданной функции $f()$. Дальше наверняка можно рассуждать более изящно/корректно, но и лобовое дифференцирование по $a_i$ для всех $i,b_i\neq0$ дает $b_if'(a_i)=\operatorname{const}$ в качестве условия экстремума. Тогда для (а) получим $b^2\leqslant\sum{b_i^2}$, а для (б) $1/b\geqslant\sum{1/b_i}$

[Sicker]

waxtep в сообщении #1440485 писал(а):

для (б) $1/b\geqslant\sum{1/b_i}$

Верно

waxtep в сообщении #1440485 писал(а):

Тогда для (а) получим $b^2\leqslant\sum{b_i^2}$

Неверно, вам там надо исследовать на максимум/минимум по второй производной, ибо эти точки экстремума будут находится в противоположных позициях мак/мин для этих двух случаев

[Sicker]

svv
waxtep
Ну что, дать подсказку?

waxtep в сообщении #1440485 писал(а):

но и лобовое дифференцирование по $a_i$ для всех $i,b_i\neq0$ дает $b_if'(a_i)=\operatorname{const}$ в качестве условия экстремума

Мне интересно, как вы перешли от задачи неравенства к задаче экстремума?

[waxtep]

Sicker в сообщении #1440991 писал(а):

Мне интересно, как вы перешли от задачи неравенства к задаче экстремума?

я в отпуске, практически полный gadget detox и, как бы сказать, brain relax
Как перешёл? Ну, считаем, что нам заданы $b_i$, надо найти $b$ при наихудшей возможной комбинации $a_i$... вроде бы задача на поиск экстремума возникает естественным образом...

[Sicker]

waxtep
А как вы дифференцируете неаналитическую функцию корень из модуля?

[waxtep]

По-деревенски, как просто корень, предположив, что $a_i=0$ или $\sum{a_i}=0$ не может быть в экстремуме; сейчас призадумался, может это чересчур смело...