2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти все условия для последовательности
Сообщение19.02.2020, 09:49 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Пусть дана последовательность $b_i$ действительных чисел. Требуется найти все условия, которые определяют вид этой последовательности такие, чтобы
1. $\sum b_i\sqrt{|a_i|}\geqslant 0$ для любых $a_i$, удовлетворяющих $\sum a_i=0$, где $a_i$ \in R
2. $\sum b_i a_i^2 \geqslant 0$ для любых $a_i$, удовлетворяющих $\sum a_i=0$, где $a_i \in R$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение19.02.2020, 11:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В последовательности $(b_i)$ не найдётся двух различных отрицательных элементов: $b_p, b_q$.
Иначе возьмём $a_p=1, a_q=-1$, остальные $a_i=0$, тогда
$\sum\limits_i b_i \sqrt{|a_i|}=\sum\limits_i b_i a_i^2=b_p+b_q<0\,,$
что противоречит условию.

В последовательности $(b_i)$ не может быть даже одного отрицательного элемента $b_p$, такого, что $|b_p|>|b_q|$ для некоторого $q$.

А вот если все $b_i\geqslant 0$, всё будет в порядке при любых $a_i$, лишь бы ряды сходились.

Остаётся выяснить детальнее, каким может быть один отрицательный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение19.02.2020, 20:09 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
svv
Да, идете в верном направлении :-) Самое нетривиальное - это найти условие на этот один отрицательный элемент для двух случаев

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение19.02.2020, 23:36 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
То есть, если обозначить модуль этого единственного отрицательного элемента за $b$, должно быть $\sum{b_if(a_i)}\geqslant bf(-\sum{a_i})$, где суммирование ведется по всем индексам кроме этого одного, для любых значений $a_i$ и для заданной функции $f()$. Дальше наверняка можно рассуждать более изящно/корректно, но и лобовое дифференцирование по $a_i$ для всех $i,b_i\neq0$ дает $b_if'(a_i)=\operatorname{const}$ в качестве условия экстремума. Тогда для (а) получим $b^2\leqslant\sum{b_i^2}$, а для (б) $1/b\geqslant\sum{1/b_i}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение20.02.2020, 01:26 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
waxtep в сообщении #1440485 писал(а):
для (б) $1/b\geqslant\sum{1/b_i}$

Верно :-)
waxtep в сообщении #1440485 писал(а):
Тогда для (а) получим $b^2\leqslant\sum{b_i^2}$

Неверно, вам там надо исследовать на максимум/минимум по второй производной, ибо эти точки экстремума будут находится в противоположных позициях мак/мин для этих двух случаев

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение23.02.2020, 04:05 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
svv
waxtep
Ну что, дать подсказку?
waxtep в сообщении #1440485 писал(а):
но и лобовое дифференцирование по $a_i$ для всех $i,b_i\neq0$ дает $b_if'(a_i)=\operatorname{const}$ в качестве условия экстремума

Мне интересно, как вы перешли от задачи неравенства к задаче экстремума? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение24.02.2020, 00:22 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Sicker в сообщении #1440991 писал(а):
Мне интересно, как вы перешли от задачи неравенства к задаче экстремума?
я в отпуске, практически полный gadget detox и, как бы сказать, brain relax :-)
Как перешёл? Ну, считаем, что нам заданы $b_i$, надо найти $b$ при наихудшей возможной комбинации $a_i$... вроде бы задача на поиск экстремума возникает естественным образом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение24.02.2020, 03:16 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
waxtep
А как вы дифференцируете неаналитическую функцию корень из модуля? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все условия для последовательности
Сообщение24.02.2020, 08:39 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
По-деревенски, как просто корень, предположив, что $a_i=0$ или $\sum{a_i}=0$ не может быть в экстремуме; сейчас призадумался, может это чересчур смело...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group