Плотные порядки

[arseniiv]

Обозначим $A + B$ сумму упорядоченных множеств $A, B$ (все элементы $A$ в ней меньше элементов $B$, а внутри порядки, изоморфные порядкам на $A, B$); также $A\times B$ — произведение (декартово произведение с лексикографическим порядком, $B$ мельче $A$); наконец обозначим как 1 одноэлементное множество с единственно возможным на нём порядком.

Пусть теперь $M$ — плотный порядок без наименьшего и наибольшего элементов, а $A$ лишь линейный. Можно видеть, что $A\times(1 + M)$ и $A\times(M + 1)$ — тоже плотные порядки, в случае бесконечного $A$ изоморфные — бесконечными же $A$ и ограничимся. Когда такой порядок $f(A, M)$ изоморфен самому $M$?

Например для $M\cong\mathbb Q$ или $M\cong\mathbb R$ есть $f(\mathbb Z,M)\cong M$. Но даже $\mathbb Q\times(1+\mathbb R)$ вроде уже не должно быть изоморфно $\mathbb R$.

Наконец только сейчас мне пришло в голову, что «неоднородный» плотный порядок $M = \mathbb Q + 1 + \mathbb R$ явно не изоморфен $f(A, M)$ ни для какого (бесконечного линейного, как условились) $A$. Тогда уточним вопрос: пусть $M$ не просто плотно упорядочено без границ, а таково, что $M\cong f(\mathbb Z, M)$ (и предыдущий случай выкинется); для каких ещё $A$ оно будет изоморфно $f(A, M)$?

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1440412 писал(а):

$A\times(1 + M)$ и $A\times(M + 1)$ — тоже плотные порядки, в случае бесконечного $A$ изоморфные

Я чего-то не понимаю в этом месте: пусть $x$ наименьший в $A$, тогда $(x, 1)$ наименьший в $A \times (1 + M)$, но в $A \times (M + 1)$ наименьшего нет.

[Connector]

Наверное, имеется в виду, что $A$ — тоже порядок без наименьшего и наибольшего элементов?

[arseniiv]

mihaild
Connector
Да, я как-то пропустил из виду, что $1 + \mathbb Z$, $\mathbb Z + 1$ и $1 + \mathbb Z + 1$ тоже бесконечные линейные порядки, балда.

-- Ср фев 19, 2020 19:44:39 --

То есть тоже будем брать неограниченные.