Для удобства анализа особенностей квантовой структуры квадратов, приведу здесь предложенное разложение :
![$$2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\------\\1+1+1\\1+1\\1 \end{cases} +1 = $$ $$2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\------\\1+1+1\\1+1\\1 \end{cases} +1 = $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/d/fddc848c1acd6d273a45a99031e526e282.png)
![$$2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1 \end{cases}+2(1+1) +2\begin{cases}1\\1+1 \end{cases} 2(1) +1 = $$ $$2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1 \end{cases}+2(1+1) +2\begin{cases}1\\1+1 \end{cases} 2(1) +1 = $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df30bb2d40b6bf8ec09dc9b3c2b939dd82.png)
![$$2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\ \end{cases}+4 +2\begin{cases}1\\1+1\\ \end{cases}+3 = $$ $$2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\ \end{cases}+4 +2\begin{cases}1\\1+1\\ \end{cases}+3 = $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/6/f563133f21444e9602335e027fc5709b82.png)
![$$4^2 +3^2 $$ $$4^2 +3^2 $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/7/127f8291882895687f02de76677f212982.png)
Мы видим, что квантовая структура квадратов очень неустойчива и эластична: обе его части - ядро и свободный член, имеют равноценное наполнение - единички, которые при одинаковом коэффициенте - 2 , могут легко проникать из одной части в другую, видоизменяя общую структуру. Эти изменения будут существенными в связи с таким равноценным наполнением.
Аналогичным образом можно выполнить и другие разложения:
![$$13^2 = 12^2 + 5^2 $$ $$13^2 = 12^2 + 5^2 $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/e/ebe4dbfdf600a07ddc80f571a042612782.png)
![$$17^2 = 15^2 + 8^2 $$ $$17^2 = 15^2 + 8^2 $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/f/10ffa16983e0ae3762b3492b987d53a482.png)
У более высоких степеней уже не так. Разложим,например,куб шести.
![$$6^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5 \end{cases}+6 = 6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5\\ 1 \end{cases}+0 = $$ $$6^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5 \end{cases}+6 = 6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5\\ 1 \end{cases}+0 = $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/a/4aa7c901068c70e32a7d54dcf3e7c45882.png)
![$$ =6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\-----\\1+5\\ \end{cases}+0 =
6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\------\\1\\1+2\\-----\\2\\ \end{cases}+0 =$$ $$ =6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\-----\\1+5\\ \end{cases}+0 =
6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\------\\1\\1+2\\-----\\2\\ \end{cases}+0 =$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/c/f8c70572e8e12f912024b7a15c42721182.png)
![$$6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\------\\1\\1+2\\ \end{cases}+12 =6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\------\\1\\1+2\\ \end{cases}+(5+4+3)=5^3+4^3+3^3$$ $$6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\------\\1\\1+2\\ \end{cases}+12 =6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\------\\1+2+3\\1+2\\1\\------\\1\\1+2\\ \end{cases}+(5+4+3)=5^3+4^3+3^3$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/2/3221205ff737ffede704345fba45579b82.png)
Видно, что ядро и свободный член у кубов имеют не равноценное наполнение при одинаковом коэффициенте : у ядра - арифметические прогрессии , у свободного члена - единичные числа. У более высоких степеней это отличие становится ещё больше. Следовательно, условия разложения в высоких степенях начинают диктовать ядра , т.е. законы по которым раскладываются треугольники BGA. Так, в рассмотренном случае можно было и не переносить свободный член: ядро разделилось нацело, почему-то, на 3 части и выбросило остаток , который в сумме со свободным членом, чудесным образом, дополнил эти части до трёх целых кубов.
Важно понять, что наша тактика теперь меняется: она становится исследовательской - найдем как раскладываются треугольники BGA в кубах и станет ясно, какой закон лежит в основе разложения степеней ,а ,следовательно,и теоремы Ферма. И уж точно, уверяю Вас - это не "основная теорема арифметики".
Таким образом, дальнейшие действия кажутся ,на первый взгляд, довольно простыми. Записываем квантовое представление какого либо куба , например -
![$13^3$ $13^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/2/d22d8813bc7666ac10cf5946734f304b82.png)
:
![$$13^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5\\1+2+3+4+5+6\\1+2+3+4+5+6+7\\1+2+3+4+5+6+7+8\\1+2+3+4+5+6+7+8+9\\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12\end{cases}+13 $$ $$13^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5\\1+2+3+4+5+6\\1+2+3+4+5+6+7\\1+2+3+4+5+6+7+8\\1+2+3+4+5+6+7+8+9\\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12\end{cases}+13 $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f721ed39fac6ce4fd088d7fedf587582.png)
и пытаемся разделить его на два куба : на два треугольника BGA с соответствующими свободными членами -
![$$BGA(13^3)+13 = BGA(x^3)+x+BGA(y^3)+y $$ $$BGA(13^3)+13 = BGA(x^3)+x+BGA(y^3)+y $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/3/b8331b45c60899ee4b9281998924915382.png)
Очевидно, что первый куб выбирается легко, по нашему желанию, например -
![$5^3=BGA(5^3)+5 $ $5^3=BGA(5^3)+5 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/e/52e4e2773090987c2e5f86700bbd4c4e82.png)
Тогда такое разбиение будет -
![$$13^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\--------\\1+2+3+4+5\\1+2+3+4+5+6\\1+2+3+4+5+6+7\\1+2+3+4+5+6+7+8\\1+2+3+4+5+6+7+8+9\\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12\end{cases}+5 + 8 $$ $$13^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\--------\\1+2+3+4+5\\1+2+3+4+5+6\\1+2+3+4+5+6+7\\1+2+3+4+5+6+7+8\\1+2+3+4+5+6+7+8+9\\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 \\1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12\end{cases}+5 + 8 $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/a/2ba16653e1006b6c56f0bcf5667f0db082.png)
Теперь остаётся решить : можно ли скомбинировать оставшуюся числовую трапецию и число-8 в числовой треугольник
![$ BGA(y^3) $ $ BGA(y^3) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/d/ecdd24afac1337f8579f951ed36f817882.png)
и свободный член
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
без остатка. Допустимы любые разбиения, в любых направлениях, в любых комбинациях. В результате мы должны прийти к пониманию : как получаются и чему равны такие цепочки разложения -
![$$13^3 - 5^3 = ..........$$ $$13^3 - 5^3 = ..........$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/4/3644b2c571a03f94f437cc6520f6185682.png)
,
![$$13^3 - 6^3 = ..........$$ $$13^3 - 6^3 = ..........$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/a/a1a3185cd8661b48e3b916e9711a274082.png)
,
![$$13^3 - 7^3 = ..........$$ $$13^3 - 7^3 = ..........$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/9/d1977a7987a134aca3ce3ea2bbc778ed82.png)
,
![$$-/-/-/-/-/-/-$$ $$-/-/-/-/-/-/-$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/5/3955a52bc8f618b9ed7c653e3ea11d7982.png)
при структурном разложении куба.