2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональная производная
Сообщение14.02.2020, 18:53 


08/05/19
6
Здравствуйте!
Имеется уравнение
$\frac{df}{dx}=g(x)$
Возможно ли найти функциональную производную $\frac{\delta f}{\delta g}$ ?
Если бы $f =$\int\limits_{x_1}^{x_2}g(x)dx$$, то тогда понятно, что $\frac{\delta f}{\delta g} = 1$.
А в этом случае, интегрируя уравнение, получим
$f(x_1) - f(x_2) =$\int\limits_{x_1}^{x_2}g(x)dx$$
И как действовать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение14.02.2020, 19:06 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
TRK11
У вас тут не функционал, а функция, получается вариационная (функциональная) производная будет в виде $\frac{\delta f}{\delta g}\delta g=\int\limits_{-\infty}^{\infty}F(x,x_0)\delta(g(x_0))dx_0$
т.е. производная векторной функции по векторному аргументу это матрица якоби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение14.02.2020, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Производная линейного оператора вычисляется точно так же, как производная линейной функции. Там даже никаких о-малых не остаётся, всё скучно

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение16.02.2020, 19:55 


08/05/19
6
Все-таки непонятно.
Что здесь означает $F(x,x_0)$ ?
Как я понимаю, от $\frac{df}{dx}=g(x)$ мы переходим к $d(\delta f)=\delta(g(x))dx$ и интегрируем. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение16.02.2020, 20:04 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
TRK11 в сообщении #1440074 писал(а):
Что здесь означает $F(x,x_0)$ ?

Функциональную производную
TRK11 в сообщении #1440074 писал(а):
Как я понимаю, от $\frac{df}{dx}=g(x)$ мы переходим к $d(\delta f)=\delta(g(x))dx$ и интегрируем. Правильно?

Ну давайте. Вам еще нужно учесть, что варианция $g$ может лежать вне пределов интегрирования

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение16.02.2020, 23:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Определите свои функциональные пространства конкретно и формализуйте вариацию как производную там Гато или лучше Фреше. В последнем случае ограниченное линейное отображение будет и своей же производной (а у неограниченного линейного производной не будет вовсе). А отображение $g \mapsto F(g)$, где $F(g)(x) = \int_c^x g(t)\,dt$ — линейное (это та известная линейность интеграла).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение17.02.2020, 01:14 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
TRK11
Кстати, ваша задача пока неопределена - т.к. первообразная определена с точностью до константы, которая не влияет на вычисления производных, то вам нужно знать, какая будет разность первообразных в какой-то точке при изменении интегрируемой функции. Я предлагаю вам взять интеграл в виде $F(g)(x) = \int_c^x g(t)\,dt+C$, где $c$ - свободный параметр (от него зависит ответ)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональная производная
Сообщение17.02.2020, 01:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Плюс $C$ не обязательно, тем более что производная интересует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group