Функциональная производная

[TRK11]

Здравствуйте!
Имеется уравнение
$\frac{df}{dx}=g(x)$
Возможно ли найти функциональную производную $\frac{\delta f}{\delta g}$ ?
Если бы $f =$\int\limits_{x_1}^{x_2}g(x)dx$$, то тогда понятно, что $\frac{\delta f}{\delta g} = 1$.
А в этом случае, интегрируя уравнение, получим
$f(x_1) - f(x_2) =$\int\limits_{x_1}^{x_2}g(x)dx$$
И как действовать дальше?

[Sicker]

TRK11
У вас тут не функционал, а функция, получается вариационная (функциональная) производная будет в виде $\frac{\delta f}{\delta g}\delta g=\int\limits_{-\infty}^{\infty}F(x,x_0)\delta(g(x_0))dx_0$
т.е. производная векторной функции по векторному аргументу это матрица якоби.

[Legioner93]

Производная линейного оператора вычисляется точно так же, как производная линейной функции. Там даже никаких о-малых не остаётся, всё скучно

[TRK11]

Все-таки непонятно.
Что здесь означает $F(x,x_0)$ ?
Как я понимаю, от $\frac{df}{dx}=g(x)$ мы переходим к $d(\delta f)=\delta(g(x))dx$ и интегрируем. Правильно?

[Sicker]

TRK11 в сообщении #1440074 писал(а):

Что здесь означает $F(x,x_0)$ ?

Функциональную производную

TRK11 в сообщении #1440074 писал(а):

Как я понимаю, от $\frac{df}{dx}=g(x)$ мы переходим к $d(\delta f)=\delta(g(x))dx$ и интегрируем. Правильно?

Ну давайте. Вам еще нужно учесть, что варианция $g$ может лежать вне пределов интегрирования

[arseniiv]

Определите свои функциональные пространства конкретно и формализуйте вариацию как производную там Гато или лучше Фреше. В последнем случае ограниченное линейное отображение будет и своей же производной (а у неограниченного линейного производной не будет вовсе). А отображение $g \mapsto F(g)$, где $F(g)(x) = \int_c^x g(t)\,dt$ — линейное (это та известная линейность интеграла).

[Sicker]

TRK11
Кстати, ваша задача пока неопределена - т.к. первообразная определена с точностью до константы, которая не влияет на вычисления производных, то вам нужно знать, какая будет разность первообразных в какой-то точке при изменении интегрируемой функции. Я предлагаю вам взять интеграл в виде $F(g)(x) = \int_c^x g(t)\,dt+C$, где $c$ - свободный параметр (от него зависит ответ)

[arseniiv]

Плюс $C$ не обязательно, тем более что производная интересует.