Невыпуклый многоугольник

[waxtep]

slavav в сообщении #1439200 писал(а):

Посчитал 50 итераций для буквы "C". Сходится.

То есть, остаётся невыпуклым, или "портится"? Я тем временем пытался обойтись 10-угольником ("треугольник в треугольнике" вместо "квадрата в квадрате"), но что-то не получается, рано или поздно становится выпуклым или самопересекается

[slavav]

Не портится. Сходится к полумесяцу. Толщина полумесяца стремится к нулю.

[Утундрий]

slavav в сообщении #1439238 писал(а):

Сходится к полумесяцу.

Любопытно взглянуть.

[slavav]

Сходимость для двенадцати вершин я проверял численно. Это ничего не доказывает.
Мне любопытно проверить сходимость аналитически. Пока проверил полумесяцы из шести и восьми вершин. Оба расходятся. Про шестивершинный waxtep этот факт уже доказал, но я проверил чтобы подтвердить правильность своего метода.
На очереди десятивершинный полумесяц.

-- 11.02.2020, 00:38 --

Численные эксперименты для полумесяцев из шести, восьми и десяти вершин - сходимости, видимо, нет.
Двенадцать выглядит минимумом. И ещё остаются нечётные количества вершин.

[waxtep]

Утундрий в сообщении #1439243 писал(а):

slavav в сообщении #1439238 писал(а):

Сходится к полумесяцу.

Любопытно взглянуть.

вот такой вот он после $50$ итераций, тонюсенький, со слившимися визуально вершинами

(картинка)

-- 11.02.2020, 01:16 --

slavav в сообщении #1439260 писал(а):

Про шестивершинный waxtep этот факт уже доказал, но я проверил чтобы подтвердить правильность своего метода.

Честно говоря мое упражнение до доказательства не дотягивает но действительно крайне интересно, что с этой штукой можно сделать аналитически

[slavav]

waxtep в сообщении #1439268 писал(а):

...интересно, что с этой штукой можно сделать аналитически

Аналитически я действую в два этапа: нахожу предельный полумесяц (там нет предела, но если добавить масштабирование, то получается предельный цикл из двух точек), вношу в него малую деформацию (так как всё линейное, то деформации можно рассматривать по одной за раз) и доказываю сходимость (когда получается).

[DeBill]

slavav в сообщении #1439200 писал(а):

Про матричный подход: там все собственные числа равны. Предельные кривые могут быть очень разнообразны.

Нет.
Посчитаем спектр матрицы $2A$. Заметим, что $2A=B+E$, где $B$ - матрица оператора $B$ циклического сдвига $B: e_i \mapsto e_{i-1}$ . Т.к. $B^n=E$, то все ее с.значения - среди корней (энной степени) $\varepsilon_k$ из единички. Соответствующий собственный вектор легко угадывается: это вектор $v_k=(1,\varepsilon_k, \varepsilon_k^2,..., \varepsilon_k^{n-1})$.
Поэтому, матрица $2A$ имеет собственные значения $1+\varepsilon_k, k=0,1,...,n-1$ - (все - различные), с собственными векторами $v_k$. (Для непростых $n$ , будут кратные с. значения, ну и ладно).
Теперь - за общую теорию. Если итерировать вектор (с последующей "правильной" нормировкой), то будет сходимость к с.вектору с наибольшим по модулю с.значением (буде токовой - один, и соответствующий к-т Фурье исходного вектора -ненулевой). Если же этот к-т - нулевой, то надо из всех с.векторов выбрать те, для которых к-ты Фурье начального вектора таки ненулевые, и среди них выбрать "главные" - с наибольшим модулем. Если главный - один, то к нему и будет сходимость. А если главных - два, то (нормированные) итерации будут приближаться к соответствующему подпространству, натянутому на гдавные, болтаясь вдоль него....
Что - у нас? $n$-угольник - упорядоченный набор вершин. Вершина - комплексное число. Начало координат выберем в центре масс.
С.значения $1+\varepsilon_k$ лежат на сдвинутой окружности. С. вектора
$v_k$ - правильные $n$-угольники (для $k=1, n-1$) или "звезды".
Наибольшее с.значение равно 2. Но выбор начала к-т обещает непопадание на соответствующее с. подпространство. Следующие по модулю с.значения соответствуют как раз правильным угольникам. Поэтому общая теория говорит о сходимости к правильному $n$- угольнику (или болтанию около линейной комбинации двух правильных - с хорошей ориентацией, и с нехорошей), вообще говоря (ну, и в исключительных случаях - к комбинации соответствующих звезд).
И - чё? Может, имеет смысл попробовать поработать с "гибридом" из двух правильных, типа $V_m=\varepsilon^m+ \alpha \varepsilon^{-m}$, $m=0,1,...,n-1$ ($V_m$ - вершины, $\varepsilon=\varepsilon_1$). Если $\alpha$ не слишком мало, есть надежда получить невыпуклость и почти-самоподобие....

[slavav]

Спасибо, DeBill. Стыдно что я забыл алгебру.

[waxtep]

slavav, а можете вот такой диковинный 10-угольник проверить?

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thick](1.5,1) -- (0.5,2) -- (0.5,-2) -- (1.5,-1) -- (3,-1) -- (4,-7) -- (-1,-7) -- (-1.09,7) -- (4,7) -- (3,1) -- (1.5,1);\end{tikzpicture}$$

Он практически симметричен относительно горизонтали, только абсцисса левого верхнего угла слегка возмущена; на 50-ой итерации выглядит как прекрасный узкий месяц, но я практически уверен, что уже на более ранних итерациях происходит самопересечение. Кажется, можно подобрать эту абсциссу в диапазоне $(-1.095,-1.085)$, чтобы он вел себя прилично. А вот 9-угольником и меньше, видимо, не обойдешься (правда, мои соображения на эту тему ужасно мутны: я рассматривал двойную итерацию, она "сглаживает каждый угол на четвертушку"; значит, должно быть как минимум 8 вершин, как на картинке выше справа, чтобы так сказать создавался "разгибающий месяц момент сил"; если попытаться замкнуть такую фигуру слева одной вершиной - обязательно будет самопересечение на какой-либо итерации; значит, минимум $8+2=10$ вершин)

[slavav]

Странно. У меня он становится выпуклым до 40 итерации.
Фраза "слегка возмущена" меня озадачивает. Малые возмущения одной вершины скорее всего имеют спектр (смотрите сообщение DeBill выше) без нулей. А это верный путь к (почти) главному собственному вектору - выпуклому многоугольнику.
Самопересечение не проблема если прекращается через конечное число шагов.
Перечитайте сообщение DeBill. Пока мы ломимся через чащу, он уже изготовил полную карты местности. Осталось найти на ней правильную траекторию, если она есть. Место для творчества осталось, так как на карте не видно есть ли самопересечения.

[slavav]

Нашёл ошибку. Сходится к прямой линий. Это заявка на победу.

-- 12.02.2020, 22:36 --

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.0177,1.1429) -- (0.6248,1.2857) -- (0.6248,0.7143) -- (1.0177,0.8571) -- (1.6071,0.8571) -- (2.0000,0.0000) -- (0.0354,0.0000) -- (-0.0000,2.0000) -- (2.0000,2.0000) -- (1.6071,1.1429) -- (1.0177,1.1429);\draw [black, thin](3.5499,1.1429) -- (2.9999,1.2143) -- (2.7799,1.0000) -- (2.9999,0.7857) -- (3.5499,0.8571) -- (4.1000,0.4286) -- (3.2199,0.0000) -- (2.1000,1.0000) -- (3.2001,2.0000) -- (4.1000,1.5714) -- (3.5499,1.1429);\draw [black, thin](6.2000,1.4545) -- (5.2637,1.2273) -- (4.6082,1.1364) -- (4.6082,0.8636) -- (5.2637,0.7727) -- (6.2000,0.5455) -- (5.9191,0.0000) -- (4.2169,0.3636) -- (4.2000,1.6364) -- (5.9022,2.0000) -- (6.2000,1.4545);\draw [black, thin](8.2909,1.8889) -- (7.9459,1.4167) -- (7.0860,1.2222) -- (6.7320,1.0000) -- (7.0860,0.7778) -- (7.9459,0.5833) -- (8.3000,0.1111) -- (7.2287,0.0000) -- (6.3000,1.0000) -- (7.2105,2.0000) -- (8.2909,1.8889);\draw [black, thin](9.8556,2.0000) -- (10.3933,1.6912) -- (9.5124,1.3382) -- (8.6249,1.1176) -- (8.6249,0.8824) -- (9.5124,0.6618) -- (10.4000,0.3088) -- (9.8756,0.0000) -- (8.4133,0.4706) -- (8.4000,1.5294) -- (9.8556,2.0000);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.8332,1.9043) -- (1.9846,2.0000) -- (1.7864,1.6087) -- (0.7648,1.2696) -- (0.2521,1.0000) -- (0.7648,0.7304) -- (1.7902,0.3913) -- (2.0000,0.0000) -- (0.8524,0.0957) -- (0.0000,1.0000) -- (0.8332,1.9043);\draw [black, thin](2.1000,1.4749) -- (3.4423,2.0000) -- (4.0870,1.8447) -- (3.2620,1.4612) -- (2.2243,1.1416) -- (2.2243,0.8584) -- (3.2646,0.5388) -- (4.1000,0.1553) -- (3.4657,0.0000) -- (2.1130,0.5251) -- (2.1000,1.4749);\draw [black, thin](4.2000,1.0000) -- (4.9930,1.7995) -- (6.1783,2.0000) -- (6.0707,1.7079) -- (4.9595,1.3267) -- (4.3405,1.0000) -- (4.9611,0.6733) -- (6.0800,0.2921) -- (6.2000,0.0000) -- (5.0147,0.2005) -- (4.2000,1.0000);\draw [black, thin](6.3141,0.5557) -- (6.3000,1.4443) -- (7.5817,2.0000) -- (8.2799,1.9491) -- (7.4903,1.5750) -- (6.3694,1.1816) -- (6.3704,0.8184) -- (7.4973,0.4250) -- (8.3000,0.0509) -- (7.6098,0.0000) -- (6.3141,0.5557);\draw [black, thin](9.1948,0.2590) -- (8.4000,1.0000) -- (9.1692,1.7410) -- (10.3707,2.0000) -- (10.3153,1.7819) -- (9.1559,1.3881) -- (8.4762,1.0000) -- (9.1608,0.6119) -- (10.3318,0.2181) -- (10.4000,0.0000) -- (9.1948,0.2590);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.2810,0.0230) -- (0.0162,0.5842) -- (0.0000,1.4158) -- (1.2463,1.9770) -- (1.9711,2.0000) -- (1.2028,1.6566) -- (0.0398,1.2178) -- (0.0429,0.7822) -- (1.2163,0.3434) -- (2.0000,0.0000) -- (1.2810,0.0230);\draw [black, thin](4.1000,0.0000) -- (2.8847,0.2955) -- (2.1000,1.0000) -- (2.8535,1.7045) -- (4.0610,2.0000) -- (4.0344,1.8379) -- (2.8513,1.4423) -- (2.1407,1.0000) -- (2.8614,0.5577) -- (4.0604,0.1621) -- (4.1000,0.0000);\draw [black, thin](6.2000,0.0000) -- (5.4668,0.0726) -- (4.2195,0.6167) -- (4.2000,1.3833) -- (5.4230,1.9274) -- (6.1595,2.0000) -- (5.4050,1.6966) -- (4.2240,1.2407) -- (4.2303,0.7593) -- (5.4275,0.3034) -- (6.2000,0.0000);\draw [black, thin](8.2758,0.1198) -- (8.3000,0.0000) -- (7.0802,0.3200) -- (6.3000,1.0000) -- (7.0413,1.6800) -- (8.2481,2.0000) -- (8.2370,1.8802) -- (7.0449,1.4863) -- (6.3214,1.0000) -- (7.0627,0.5137) -- (8.2758,0.1198);\draw [black, thin](9.6349,0.2732) -- (10.4000,0.0000) -- (9.6607,0.1065) -- (8.4241,0.6383) -- (8.4000,1.3617) -- (9.6045,1.8935) -- (10.3439,2.0000) -- (9.5999,1.7268) -- (8.4155,1.2586) -- (8.4265,0.7414) -- (9.6349,0.2732);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.7646,0.4796) -- (1.9841,0.0881) -- (2.0000,0.0000) -- (0.7790,0.3371) -- (0.0000,1.0000) -- (0.7294,1.6629) -- (1.9306,2.0000) -- (1.9277,1.9119) -- (0.7362,1.5204) -- (0.0111,1.0000) -- (0.7646,0.4796);\draw [black, thin](2.1284,0.7278) -- (3.3408,0.2508) -- (4.1000,0.0000) -- (3.3595,0.1303) -- (2.1305,0.6533) -- (2.1000,1.3467) -- (3.2864,1.8697) -- (4.0227,2.0000) -- (3.2888,1.7492) -- (2.1109,1.2722) -- (2.1284,0.7278);\draw [black, thin](4.2055,1.0000) -- (4.9673,0.4538) -- (6.1884,0.0645) -- (6.2000,0.0000) -- (4.9801,0.3494) -- (4.2000,1.0000) -- (4.9159,1.6506) -- (6.1069,2.0000) -- (6.1083,1.9355) -- (4.9242,1.5462) -- (4.2055,1.0000);\draw [black, thin](6.3084,1.2822) -- (6.3347,0.7178) -- (7.5466,0.2344) -- (8.3000,0.0000) -- (7.5615,0.1472) -- (6.3392,0.6639) -- (6.3000,1.3361) -- (7.4654,1.8528) -- (8.1941,2.0000) -- (7.4713,1.7656) -- (6.3084,1.2822);\draw [black, thin](9.1079,1.5655) -- (8.4024,1.0000) -- (9.1710,0.4345) -- (10.3907,0.0471) -- (10.4000,0.0000) -- (9.1830,0.3583) -- (8.4000,1.0000) -- (9.0990,1.6417) -- (10.2746,2.0000) -- (10.2783,1.9529) -- (9.1079,1.5655);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.1466,1.7775) -- (0.0069,1.2896) -- (0.0452,0.7104) -- (1.2533,0.2225) -- (2.0000,0.0000) -- (1.2662,0.1594) -- (0.0510,0.6714) -- (0.0000,1.3286) -- (1.1390,1.8406) -- (1.8555,2.0000) -- (1.1466,1.7775);\draw [black, thin](3.9357,1.9657) -- (2.7858,1.5797) -- (2.1007,1.0000) -- (2.8760,0.4203) -- (4.0920,0.0343) -- (4.1000,0.0000) -- (2.8876,0.3648) -- (2.1000,1.0000) -- (2.7768,1.6352) -- (3.9310,2.0000) -- (3.9357,1.9657);\draw [black, thin](6.0038,2.0000) -- (5.3129,1.7862) -- (4.2059,1.2949) -- (4.2603,0.7051) -- (5.4616,0.2138) -- (6.2000,0.0000) -- (5.4735,0.1681) -- (4.2669,0.6768) -- (4.2000,1.3232) -- (5.3046,1.8319) -- (6.0038,2.0000);\draw [black, thin](8.0723,2.0000) -- (8.0775,1.9751) -- (6.9564,1.5902) -- (6.3000,1.0000) -- (7.0830,0.4098) -- (8.2926,0.0249) -- (8.3000,0.0000) -- (7.0946,0.3695) -- (6.3005,1.0000) -- (6.9476,1.6305) -- (8.0723,2.0000);\draw [black, thin](9.4596,1.8256) -- (10.1353,2.0000) -- (9.4679,1.7925) -- (8.4050,1.2988) -- (8.4807,0.7012) -- (9.6723,0.2075) -- (10.4000,0.0000) -- (9.6836,0.1744) -- (8.4879,0.6808) -- (8.4000,1.3192) -- (9.4596,1.8256);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.6091,1.6271) -- (1.6943,2.0000) -- (1.6996,1.9819) -- (0.6174,1.5978) -- (0.0000,1.0000) -- (0.7926,0.4022) -- (1.9929,0.0181) -- (2.0000,0.0000) -- (0.8042,0.3729) -- (0.0014,1.0000) -- (0.6091,1.6271);\draw [black, thin](2.1000,1.3164) -- (3.1010,1.8210) -- (3.7458,2.0000) -- (3.1091,1.7971) -- (2.1041,1.3016) -- (2.2077,0.6984) -- (3.3861,0.2029) -- (4.1000,0.0000) -- (3.3971,0.1790) -- (2.2154,0.6836) -- (2.1000,1.3164);\draw [black, thin](4.2022,1.0000) -- (4.7583,1.6246) -- (5.7917,2.0000) -- (5.7967,1.9869) -- (4.7660,1.6034) -- (4.2000,1.0000) -- (5.0049,0.3966) -- (6.1931,0.0131) -- (6.2000,0.0000) -- (5.0167,0.3754) -- (4.2022,1.0000);\draw [black, thin](6.4505,0.6856) -- (6.3000,1.3144) -- (7.2261,1.8177) -- (7.8312,2.0000) -- (7.2335,1.8004) -- (6.3032,1.3037) -- (6.4424,0.6963) -- (7.6037,0.1996) -- (8.3000,0.0000) -- (7.6146,0.1823) -- (6.4505,0.6856);\draw [black, thin](9.2328,0.3772) -- (8.4032,1.0000) -- (8.8926,1.6228) -- (9.8590,2.0000) -- (9.8636,1.9905) -- (8.8993,1.6074) -- (8.4000,1.0000) -- (9.2208,0.3926) -- (10.3931,0.0095) -- (10.4000,0.0000) -- (9.2328,0.3772);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.3364,0.1847) -- (0.1945,0.6871) -- (0.0000,1.3129) -- (0.8325,1.8153) -- (1.3878,2.0000) -- (0.8390,1.8028) -- (0.0020,1.3051) -- (0.1858,0.6949) -- (1.3256,0.1972) -- (2.0000,0.0000) -- (1.3364,0.1847);\draw [black, thin](4.1000,0.0000) -- (2.9532,0.3785) -- (2.1042,1.0000) -- (2.5095,1.6215) -- (3.3910,2.0000) -- (3.3951,1.9931) -- (2.5149,1.6103) -- (2.1000,1.0000) -- (2.9408,0.3897) -- (4.0931,0.0069) -- (4.1000,0.0000);\draw [black, thin](6.2000,0.0000) -- (5.5630,0.1865) -- (4.4479,0.6882) -- (4.2000,1.3118) -- (4.9190,1.8135) -- (5.4139,2.0000) -- (4.9243,1.8045) -- (4.2006,1.3062) -- (4.4386,0.6938) -- (5.5523,0.1955) -- (6.2000,0.0000);\draw [black, thin](8.2931,0.0050) -- (8.3000,0.0000) -- (7.1782,0.3795) -- (6.3055,1.0000) -- (6.6072,1.6205) -- (7.3843,2.0000) -- (7.3877,1.9950) -- (6.6110,1.6124) -- (6.3000,1.0000) -- (7.1654,0.3876) -- (8.2931,0.0050);\draw [black, thin](9.7837,0.1943) -- (10.4000,0.0000) -- (9.7944,0.1877) -- (8.7111,0.6890) -- (8.4009,1.3110) -- (8.9869,1.8123) -- (9.4109,2.0000) -- (8.9908,1.8057) -- (8.4000,1.3070) -- (8.7011,0.6930) -- (9.7837,0.1943);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.8947,0.3860) -- (1.9931,0.0036) -- (2.0000,0.0000) -- (0.9080,0.3802) -- (0.0071,1.0000) -- (0.1854,1.6198) -- (0.8383,2.0000) -- (0.8409,1.9964) -- (0.1873,1.6140) -- (0.0000,1.0000) -- (0.8947,0.3860);\draw [black, thin](2.4717,0.6924) -- (3.5191,0.1934) -- (4.1000,0.0000) -- (3.5298,0.1886) -- (2.4825,0.6895) -- (2.1027,1.3105) -- (2.5396,1.8114) -- (2.8840,2.0000) -- (2.5419,1.8066) -- (2.1000,1.3076) -- (2.4717,0.6924);\draw [black, thin](4.2000,1.0000) -- (5.1281,0.3849) -- (6.1930,0.0026) -- (6.2000,0.0000) -- (5.1421,0.3807) -- (4.2088,1.0000) -- (4.2461,1.6193) -- (4.7571,2.0000) -- (4.7587,1.9974) -- (4.2459,1.6151) -- (4.2000,1.0000);\draw [black, thin](6.3000,1.3080) -- (6.7470,0.6920) -- (7.7569,0.1927) -- (8.3000,0.0000) -- (7.7675,0.1893) -- (6.7586,0.6899) -- (6.3046,1.3101) -- (6.5824,1.8107) -- (6.8421,2.0000) -- (6.5831,1.8073) -- (6.3000,1.3080);\draw [black, thin](8.4000,1.6159) -- (8.5030,1.0000) -- (9.4180,0.3841) -- (10.3933,0.0019) -- (10.4000,0.0000) -- (9.4319,0.3810) -- (8.5131,1.0000) -- (8.4025,1.6190) -- (8.7401,2.0000) -- (8.7405,1.9981) -- (8.4000,1.6159);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.1221,1.8078) -- (0.0000,1.3082) -- (0.5233,0.6918) -- (1.4951,0.1922) -- (2.0000,0.0000) -- (1.5057,0.1897) -- (0.5357,0.6902) -- (0.0065,1.3098) -- (0.1231,1.8103) -- (0.2969,2.0000) -- (0.1221,1.8078);\draw [black, thin](2.2755,1.9986) -- (2.1000,1.6165) -- (2.3372,1.0000) -- (3.2209,0.3835) -- (4.0937,0.0014) -- (4.1000,0.0000) -- (3.2345,0.3813) -- (2.3483,1.0000) -- (2.1044,1.6187) -- (2.2761,2.0000) -- (2.2755,1.9986);\draw [black, thin](4.2923,2.0000) -- (4.2000,1.8081) -- (4.2323,1.3085) -- (4.8194,0.6915) -- (5.7395,0.1919) -- (6.2000,0.0000) -- (5.7499,0.1901) -- (4.8324,0.6904) -- (4.2404,1.3096) -- (4.2026,1.8099) -- (4.2923,2.0000);\draw [black, thin](6.3356,2.0000) -- (6.3341,1.9990) -- (6.3000,1.6169) -- (6.6522,1.0000) -- (7.5092,0.3831) -- (8.2941,0.0010) -- (8.3000,0.0000) -- (7.5224,0.3815) -- (6.6642,1.0000) -- (6.3061,1.6185) -- (6.3356,2.0000);\draw [black, thin](8.4039,1.8097) -- (8.4180,2.0000) -- (8.4000,1.8084) -- (8.5607,1.3086) -- (9.1713,0.6914) -- (10.0006,0.1916) -- (10.4000,0.0000) -- (10.0103,0.1903) -- (9.1841,0.6906) -- (8.5698,1.3094) -- (8.4039,1.8097);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.0867,1.6184) -- (0.0022,2.0000) -- (0.0000,1.9993) -- (0.0794,1.6172) -- (0.5089,1.0000) -- (1.3106,0.3828) -- (1.9946,0.0007) -- (2.0000,0.0000) -- (1.3230,0.3816) -- (0.5211,1.0000) -- (0.0867,1.6184);\draw [black, thin](2.4034,1.3093) -- (2.1434,1.8095) -- (2.1000,2.0000) -- (2.1387,1.8085) -- (2.3936,1.3087) -- (3.0104,0.6913) -- (3.7546,0.1915) -- (4.1000,0.0000) -- (3.7636,0.1905) -- (3.0227,0.6907) -- (2.4034,1.3093);\draw [black, thin](4.8551,1.0000) -- (4.3700,1.6183) -- (4.2026,2.0000) -- (4.2000,1.9995) -- (4.3620,1.6175) -- (4.8429,1.0000) -- (5.5939,0.3825) -- (6.1951,0.0005) -- (6.2000,0.0000) -- (5.6056,0.3817) -- (4.8551,1.0000);\draw [black, thin](7.3310,0.6908) -- (6.7120,1.3092) -- (6.3852,1.8094) -- (6.3000,2.0000) -- (6.3799,1.8087) -- (6.7019,1.3088) -- (7.3190,0.6912) -- (7.9964,0.1913) -- (8.3000,0.0000) -- (8.0047,0.1906) -- (7.3310,0.6908);\draw [black, thin](9.8654,0.3818) -- (9.1521,1.0000) -- (8.6303,1.6182) -- (8.4029,2.0000) -- (8.4000,1.9996) -- (8.6218,1.6176) -- (9.1399,1.0000) -- (9.8541,0.3824) -- (10.3954,0.0004) -- (10.4000,0.0000) -- (9.8654,0.3818);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.7345,0.1907) -- (1.1094,0.6908) -- (0.4907,1.3092) -- (0.1153,1.8093) -- (0.0000,2.0000) -- (0.1096,1.8088) -- (0.4803,1.3089) -- (1.0976,0.6911) -- (1.7265,0.1912) -- (2.0000,0.0000) -- (1.7345,0.1907);\draw [black, thin](4.1000,0.0000) -- (3.6086,0.3818) -- (2.9223,1.0000) -- (2.3739,1.6182) -- (2.1032,2.0000) -- (2.1000,1.9997) -- (2.3650,1.6177) -- (2.9101,1.0000) -- (3.5977,0.3823) -- (4.0956,0.0003) -- (4.1000,0.0000);\draw [black, thin](6.2000,0.0000) -- (5.9560,0.1908) -- (5.3661,0.6909) -- (4.7476,1.3091) -- (4.3372,1.8092) -- (4.2000,2.0000) -- (4.3312,1.8088) -- (4.7370,1.3089) -- (5.3545,0.6911) -- (5.9484,0.1912) -- (6.2000,0.0000);\draw [black, thin](8.2958,0.0002) -- (8.3000,0.0000) -- (7.8399,0.3819) -- (7.1731,1.0000) -- (6.6054,1.6181) -- (6.3033,2.0000) -- (6.3000,1.9998) -- (6.5963,1.6178) -- (7.1609,1.0000) -- (7.8293,0.3822) -- (8.2958,0.0002);\draw [black, thin](10.1642,0.1911) -- (10.4000,0.0000) -- (10.1716,0.1909) -- (9.6071,0.6909) -- (8.9887,1.3091) -- (8.5530,1.8091) -- (8.4000,2.0000) -- (8.5468,1.8089) -- (8.9780,1.3089) -- (9.5957,0.6911) -- (10.1642,0.1911);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.5521,0.3821) -- (1.9959,0.0001) -- (2.0000,0.0000) -- (1.5625,0.3819) -- (0.9099,1.0000) -- (0.3283,1.6181) -- (0.0034,2.0000) -- (0.0000,1.9999) -- (0.3189,1.6179) -- (0.8977,1.0000) -- (1.5521,0.3821);\draw [black, thin](3.3255,0.6910) -- (3.8756,0.1911) -- (4.1000,0.0000) -- (3.8829,0.1909) -- (3.3368,0.6909) -- (2.7185,1.3091) -- (2.2644,1.8091) -- (2.1000,2.0000) -- (2.2580,1.8089) -- (2.7077,1.3090) -- (3.3255,0.6910);\draw [black, thin](5.1243,1.0000) -- (5.7687,0.3821) -- (6.1960,0.0001) -- (6.2000,0.0000) -- (5.7789,0.3819) -- (5.1365,1.0000) -- (4.5448,1.6181) -- (4.2035,2.0000) -- (4.2000,1.9999) -- (4.5353,1.6179) -- (5.1243,1.0000);\draw [black, thin](6.9292,1.3090) -- (7.5471,0.6910) -- (8.0839,0.1911) -- (8.3000,0.0000) -- (8.0911,0.1909) -- (7.5583,0.6909) -- (6.9401,1.3091) -- (6.4727,1.8091) -- (6.3000,2.0000) -- (6.4662,1.8089) -- (6.9292,1.3090);\draw [black, thin](8.7472,1.6180) -- (9.3435,1.0000) -- (9.9806,0.3820) -- (10.3961,0.0001) -- (10.4000,0.0000) -- (9.9908,0.3819) -- (9.3557,1.0000) -- (8.7568,1.6181) -- (8.4036,2.0000) -- (8.4000,1.9999) -- (8.7472,1.6180);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.1721,1.8090) -- (0.6448,1.3090) -- (1.2627,0.6910) -- (1.7899,0.1910) -- (2.0000,0.0000) -- (1.7970,0.1909) -- (1.2738,0.6910) -- (0.6557,1.3090) -- (0.1787,1.8091) -- (0.0000,2.0000) -- (0.1721,1.8090);\draw [black, thin](2.1000,1.9999) -- (2.4557,1.6180) -- (3.0574,1.0000) -- (3.6893,0.3820) -- (4.0961,0.0001) -- (4.1000,0.0000) -- (3.6993,0.3819) -- (3.0696,1.0000) -- (2.4654,1.6181) -- (2.1036,2.0000) -- (2.1000,1.9999);\draw [black, thin](4.2000,2.0000) -- (4.3764,1.8090) -- (4.8560,1.3090) -- (5.4739,0.6910) -- (5.9943,0.1910) -- (6.2000,0.0000) -- (6.0012,0.1909) -- (5.4851,0.6910) -- (4.8670,1.3090) -- (4.3831,1.8091) -- (4.2000,2.0000);\draw [black, thin](6.3037,2.0000) -- (6.3000,2.0000) -- (6.6619,1.6180) -- (7.2675,1.0000) -- (7.8955,0.3820) -- (8.2961,0.0000) -- (8.3000,0.0000) -- (7.9056,0.3819) -- (7.2797,1.0000) -- (6.6717,1.6181) -- (6.3037,2.0000);\draw [black, thin](8.5862,1.8090) -- (8.4000,2.0000) -- (8.5795,1.8090) -- (9.0641,1.3090) -- (9.6821,0.6910) -- (10.1974,0.1910) -- (10.4000,0.0000) -- (10.2043,0.1910) -- (9.6932,0.6910) -- (9.0751,1.3090) -- (8.5862,1.8090);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.3762,1.6180) -- (0.0037,2.0000) -- (0.0000,2.0000) -- (0.3664,1.6180) -- (0.9748,1.0000) -- (1.6001,0.3820) -- (1.9962,0.0000) -- (2.0000,0.0000) -- (1.6100,0.3820) -- (0.9870,1.0000) -- (0.3762,1.6180);\draw [black, thin](2.7810,1.3090) -- (2.2885,1.8090) -- (2.1000,2.0000) -- (2.2817,1.8090) -- (2.7700,1.3090) -- (3.3880,0.6910) -- (3.8997,0.1910) -- (4.1000,0.0000) -- (3.9066,0.1910) -- (3.3991,0.6910) -- (2.7810,1.3090);\draw [black, thin](5.1923,1.0000) -- (4.5795,1.6180) -- (4.2037,2.0000) -- (4.2000,2.0000) -- (4.5697,1.6180) -- (5.1801,1.0000) -- (5.8034,0.3820) -- (6.1962,0.0000) -- (6.2000,0.0000) -- (5.8133,0.3820) -- (5.1923,1.0000);\draw [black, thin](7.6034,0.6910) -- (6.9853,1.3090) -- (6.4901,1.8090) -- (6.3000,2.0000) -- (6.4833,1.8090) -- (6.9743,1.3090) -- (7.5923,0.6910) -- (8.1013,0.1910) -- (8.3000,0.0000) -- (8.1082,0.1910) -- (7.6034,0.6910);\draw [black, thin](10.0156,0.3820) -- (9.3961,1.0000) -- (8.7819,1.6180) -- (8.4037,2.0000) -- (8.4000,2.0000) -- (8.7720,1.6180) -- (9.3839,1.0000) -- (10.0057,0.3820) -- (10.3962,0.0000) -- (10.4000,0.0000) -- (10.0156,0.3820);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.8094,0.1910) -- (1.3065,0.6910) -- (0.6884,1.3090) -- (0.1913,1.8090) -- (0.0000,2.0000) -- (0.1845,1.8090) -- (0.6774,1.3090) -- (1.2954,0.6910) -- (1.8025,0.1910) -- (2.0000,0.0000) -- (1.8094,0.1910);\draw [black, thin](4.1000,0.0000) -- (3.7173,0.3820) -- (3.0989,1.0000) -- (2.4836,1.6180) -- (2.1037,2.0000) -- (2.1000,2.0000) -- (2.4737,1.6180) -- (3.0867,1.0000) -- (3.7074,0.3820) -- (4.0962,0.0000) -- (4.1000,0.0000);\draw [black, thin](6.2000,0.0000) -- (6.0102,0.1910) -- (5.5087,0.6910) -- (4.8906,1.3090) -- (4.3921,1.8090) -- (4.2000,2.0000) -- (4.3853,1.8090) -- (4.8796,1.3090) -- (5.4976,0.6910) -- (6.0033,0.1910) -- (6.2000,0.0000);\draw [black, thin](8.2962,0.0000) -- (8.3000,0.0000) -- (7.9186,0.3820) -- (7.3009,1.0000) -- (6.6848,1.6180) -- (6.3038,2.0000) -- (6.3000,2.0000) -- (6.6750,1.6180) -- (7.2887,1.0000) -- (7.9087,0.3820) -- (8.2962,0.0000);\draw [black, thin](10.2040,0.1910) -- (10.4000,0.0000) -- (10.2108,0.1910) -- (9.7103,0.6910) -- (9.0923,1.3090) -- (8.5928,1.8090) -- (8.4000,2.0000) -- (8.5860,1.8090) -- (9.0812,1.3090) -- (9.6992,0.6910) -- (10.2040,0.1910);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.6096,0.3820) -- (1.9962,0.0000) -- (2.0000,0.0000) -- (1.6195,0.3820) -- (1.0023,1.0000) -- (0.3857,1.6180) -- (0.0038,2.0000) -- (0.0000,2.0000) -- (0.3759,1.6180) -- (0.9901,1.0000) -- (1.6096,0.3820);\draw [black, thin](3.4004,0.6910) -- (3.9044,0.1910) -- (4.1000,0.0000) -- (3.9113,0.1910) -- (3.4115,0.6910) -- (2.7934,1.3090) -- (2.2932,1.8090) -- (2.1000,2.0000) -- (2.2864,1.8090) -- (2.7824,1.3090) -- (3.4004,0.6910);\draw [black, thin](5.1912,1.0000) -- (5.8102,0.3820) -- (6.1962,0.0000) -- (6.2000,0.0000) -- (5.8201,0.3820) -- (5.2034,1.0000) -- (4.5864,1.6180) -- (4.2038,2.0000) -- (4.2000,2.0000) -- (4.5765,1.6180) -- (5.1912,1.0000);\draw [black, thin](6.9832,1.3090) -- (7.6013,0.6910) -- (8.1047,0.1910) -- (8.3000,0.0000) -- (8.1116,0.1910) -- (7.6123,0.6910) -- (6.9943,1.3090) -- (6.4935,1.8090) -- (6.3000,2.0000) -- (6.4867,1.8090) -- (6.9832,1.3090);\draw [black, thin](8.7770,1.6180) -- (9.3919,1.0000) -- (10.0107,0.3820) -- (10.3962,0.0000) -- (10.4000,0.0000) -- (10.0206,0.3820) -- (9.4041,1.0000) -- (8.7868,1.6180) -- (8.4038,2.0000) -- (8.4000,2.0000) -- (8.7770,1.6180);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.1870,1.8090) -- (0.6839,1.3090) -- (1.3019,0.6910) -- (1.8050,0.1910) -- (2.0000,0.0000) -- (1.8118,0.1910) -- (1.3129,0.6910) -- (0.6949,1.3090) -- (0.1938,1.8090) -- (0.0000,2.0000) -- (0.1870,1.8090);\draw [black, thin](2.1000,2.0000) -- (2.4773,1.6180) -- (3.0925,1.0000) -- (3.7110,0.3820) -- (4.0962,0.0000) -- (4.1000,0.0000) -- (3.7209,0.3820) -- (3.1047,1.0000) -- (2.4872,1.6180) -- (2.1038,2.0000) -- (2.1000,2.0000);\draw [black, thin](4.2000,2.0000) -- (4.3871,1.8090) -- (4.8843,1.3090) -- (5.5023,0.6910) -- (6.0052,0.1910) -- (6.2000,0.0000) -- (6.0120,0.1910) -- (5.5134,0.6910) -- (4.8953,1.3090) -- (4.3940,1.8090) -- (4.2000,2.0000);\draw [black, thin](6.3038,2.0000) -- (6.3000,2.0000) -- (6.6776,1.6180) -- (7.2929,1.0000) -- (7.9113,0.3820) -- (8.2962,0.0000) -- (8.3000,0.0000) -- (7.9212,0.3820) -- (7.3051,1.0000) -- (6.6874,1.6180) -- (6.3038,2.0000);\draw [black, thin](8.5941,1.8090) -- (8.4000,2.0000) -- (8.5872,1.8090) -- (9.0846,1.3090) -- (9.7026,0.6910) -- (10.2053,0.1910) -- (10.4000,0.0000) -- (10.2121,0.1910) -- (9.7137,0.6910) -- (9.0957,1.3090) -- (8.5941,1.8090);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.3876,1.6180) -- (0.0038,2.0000) -- (0.0000,2.0000) -- (0.3777,1.6180) -- (0.9931,1.0000) -- (1.6115,0.3820) -- (1.9962,0.0000) -- (2.0000,0.0000) -- (1.6213,0.3820) -- (1.0053,1.0000) -- (0.3876,1.6180);\draw [black, thin](2.7959,1.3090) -- (2.2942,1.8090) -- (2.1000,2.0000) -- (2.2873,1.8090) -- (2.7848,1.3090) -- (3.4029,0.6910) -- (3.9054,0.1910) -- (4.1000,0.0000) -- (3.9122,0.1910) -- (3.4139,0.6910) -- (2.7959,1.3090);\draw [black, thin](5.2056,1.0000) -- (4.5877,1.6180) -- (4.2038,2.0000) -- (4.2000,2.0000) -- (4.5779,1.6180) -- (5.1934,1.0000) -- (5.8116,0.3820) -- (6.1962,0.0000) -- (6.2000,0.0000) -- (5.8215,0.3820) -- (5.2056,1.0000);\draw [black, thin](7.6141,0.6910) -- (6.9961,1.3090) -- (6.4942,1.8090) -- (6.3000,2.0000) -- (6.4874,1.8090) -- (6.9850,1.3090) -- (7.6030,0.6910) -- (8.1054,0.1910) -- (8.3000,0.0000) -- (8.1123,0.1910) -- (7.6141,0.6910);\draw [black, thin](10.0216,0.3820) -- (9.4057,1.0000) -- (8.7878,1.6180) -- (8.4038,2.0000) -- (8.4000,2.0000) -- (8.7780,1.6180) -- (9.3935,1.0000) -- (10.0117,0.3820) -- (10.3962,0.0000) -- (10.4000,0.0000) -- (10.0216,0.3820);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.8123,0.1910) -- (1.3142,0.6910) -- (0.6962,1.3090) -- (0.1943,1.8090) -- (0.0000,2.0000) -- (0.1874,1.8090) -- (0.6851,1.3090) -- (1.3032,0.6910) -- (1.8055,0.1910) -- (2.0000,0.0000) -- (1.8123,0.1910);\draw [black, thin](4.1000,0.0000) -- (3.7216,0.3820) -- (3.1058,1.0000) -- (2.4879,1.6180) -- (2.1038,2.0000) -- (2.1000,2.0000) -- (2.4780,1.6180) -- (3.0936,1.0000) -- (3.7118,0.3820) -- (4.0962,0.0000) -- (4.1000,0.0000);\draw [black, thin](6.2000,0.0000) -- (6.0123,0.1910) -- (5.5143,0.6910) -- (4.8963,1.3090) -- (4.3943,1.8090) -- (4.2000,2.0000) -- (4.3875,1.8090) -- (4.8852,1.3090) -- (5.5033,0.6910) -- (6.0055,0.1910) -- (6.2000,0.0000);\draw [black, thin](8.2962,0.0000) -- (8.3000,0.0000) -- (7.9217,0.3820) -- (7.3059,1.0000) -- (6.6879,1.6180) -- (6.3038,2.0000) -- (6.3000,2.0000) -- (6.6781,1.6180) -- (7.2937,1.0000) -- (7.9118,0.3820) -- (8.2962,0.0000);\draw [black, thin](10.2055,0.1910) -- (10.4000,0.0000) -- (10.2124,0.1910) -- (9.7144,0.6910) -- (9.0963,1.3090) -- (8.5943,1.8090) -- (8.4000,2.0000) -- (8.5875,1.8090) -- (9.0853,1.3090) -- (9.7033,0.6910) -- (10.2055,0.1910);\end{tikzpicture}$$

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.6118,0.3820) -- (1.9962,0.0000) -- (2.0000,0.0000) -- (1.6217,0.3820) -- (1.0059,1.0000) -- (0.3880,1.6180) -- (0.0038,2.0000) -- (0.0000,2.0000) -- (0.3781,1.6180) -- (0.9938,1.0000) -- (1.6118,0.3820);\draw [black, thin](3.4034,0.6910) -- (3.9056,0.1910) -- (4.1000,0.0000) -- (3.9124,0.1910) -- (3.4144,0.6910) -- (2.7964,1.3090) -- (2.2944,1.8090) -- (2.1000,2.0000) -- (2.2875,1.8090) -- (2.7853,1.3090) -- (3.4034,0.6910);\draw [black, thin](5.1938,1.0000) -- (5.8119,0.3820) -- (6.1962,0.0000) -- (6.2000,0.0000) -- (5.8217,0.3820) -- (5.2060,1.0000) -- (4.5880,1.6180) -- (4.2038,2.0000) -- (4.2000,2.0000) -- (4.5781,1.6180) -- (5.1938,1.0000);\draw [black, thin](6.9854,1.3090) -- (7.6034,0.6910) -- (8.1056,0.1910) -- (8.3000,0.0000) -- (8.1124,0.1910) -- (7.6145,0.6910) -- (6.9964,1.3090) -- (6.4944,1.8090) -- (6.3000,2.0000) -- (6.4875,1.8090) -- (6.9854,1.3090);\draw [black, thin](8.7781,1.6180) -- (9.3938,1.0000) -- (10.0119,0.3820) -- (10.3962,0.0000) -- (10.4000,0.0000) -- (10.0218,0.3820) -- (9.4060,1.0000) -- (8.7880,1.6180) -- (8.4038,2.0000) -- (8.4000,2.0000) -- (8.7781,1.6180);\end{tikzpicture}$$

[waxtep]

slavav в сообщении #1439603 писал(а):

Сходится к прямой линий. Это заявка на победу.

О, значит 10-угольники действительно тоже могУт! хочется же все таки... несмотря на все красоты алгебры... предъявить легко рассчитываемый аналитически экземпляр!

В исходной задаче, впрочем, этого не просили; возможно, есть какое-то неконструктивное доказательство того, что "10 - да, а 9 и меньше - нет" (если это верно, а не плен иллюзий)

[slavav]

Мало времени, поэтому только анонс. Доказательства пока нет.

Для десятиугольника обозначим: $\varepsilon = e^{\frac{2\pi i}{10}}$.

Зададим базис из собственных векторов:
$v_k=(1,\varepsilon^k, \varepsilon^{2k}, \varepsilon^{3k}, \varepsilon^{4k}, \varepsilon^{5k}, \varepsilon^{6k}, \varepsilon^{7k}, \varepsilon^{8k}, \varepsilon^{9k}), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
Крохотная точка слева - $v_0$:

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.4700,0.0000) -- (1.5,0.0000);\draw [black, thin](2.6000,0.0000) -- (2.5045,0.2939) -- (2.2545,0.4755) -- (1.9455,0.4755) -- (1.6955,0.2939) -- (1.6000,0.0000) -- (1.6955,-0.2939) -- (1.9455,-0.4755) -- (2.2545,-0.4755) -- (2.5045,-0.2939) -- (2.6000,0.0000);\draw [black, thin](3.7000,0.0000) -- (3.3545,0.4755) -- (2.7955,0.2939) -- (2.7955,-0.2939) -- (3.3545,-0.4755) -- (3.7000,-0.0000) -- (3.3545,0.4755) -- (2.7955,0.2939) -- (2.7955,-0.2939) -- (3.3545,-0.4755) -- (3.7000,0.0000);\draw [black, thin](4.8000,0.0000) -- (4.1455,0.4755) -- (3.8955,-0.2939) -- (4.7045,-0.2939) -- (4.4545,0.4755) -- (3.8000,0.0000) -- (4.4545,-0.4755) -- (4.7045,0.2939) -- (3.8955,0.2939) -- (4.1455,-0.4755) -- (4.8000,0.0000);\draw [black, thin](5.9000,0.0000) -- (4.9955,0.2939) -- (5.5545,-0.4755) -- (5.5545,0.4755) -- (4.9955,-0.2939) -- (5.9000,0.0000) -- (4.9955,0.2939) -- (5.5545,-0.4755) -- (5.5545,0.4755) -- (4.9955,-0.2939) -- (5.9000,0.0000);\draw [black, thin](7.0000,0.0000) -- (6.0000,0.0000) -- (7.0000,0.0000) -- (6.0000,0.0000) -- (7.0000,0.0000) -- (6.0000,0.0000) -- (7.0000,0.0000) -- (6.0000,0.0000) -- (7.0000,0.0000) -- (6.0000,0.0000) -- (7.0000,0.0000);\draw [black, thin](8.1000,0.0000) -- (7.1955,-0.2939) -- (7.7545,0.4755) -- (7.7545,-0.4755) -- (7.1955,0.2939) -- (8.1000,0.0000) -- (7.1955,-0.2939) -- (7.7545,0.4755) -- (7.7545,-0.4755) -- (7.1955,0.2939) -- (8.1000,0.0000);\draw [black, thin](9.2000,0.0000) -- (8.5455,-0.4755) -- (8.2955,0.2939) -- (9.1045,0.2939) -- (8.8545,-0.4755) -- (8.2000,0.0000) -- (8.8545,0.4755) -- (9.1045,-0.2939) -- (8.2955,-0.2939) -- (8.5455,0.4755) -- (9.2000,0.0000);\draw [black, thin](10.3000,0.0000) -- (9.9545,-0.4755) -- (9.3955,-0.2939) -- (9.3955,0.2939) -- (9.9545,0.4755) -- (10.3000,-0.0000) -- (9.9545,-0.4755) -- (9.3955,-0.2939) -- (9.3955,0.2939) -- (9.9545,0.4755) -- (10.3000,0.0000);\draw [black, thin](11.4000,0.0000) -- (11.3045,-0.2939) -- (11.0545,-0.4755) -- (10.7455,-0.4755) -- (10.4955,-0.2939) -- (10.4000,0.0000) -- (10.4955,0.2939) -- (10.7455,0.4755) -- (11.0545,0.4755) -- (11.3045,0.2939) -- (11.4000,0.0000);\end{tikzpicture}$$

Видимо $5v_1 + 4v_2 - v_3 - v_7 +6v_8-5v_9$ решает задачу.

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](0.8000,0.0000) -- (0.3708,0.3976) -- (-0.6472,0.8335) -- (-0.9708,1.0686) -- (0.2472,0.7780) -- (1.2000,-0.0000) -- (0.2472,-0.7780) -- (-0.9708,-1.0686) -- (-0.6472,-0.8335) -- (0.3708,-0.3976) -- (0.8000,0.0000);\end{tikzpicture}$$

[slavav]

Ещё один анонс без доказательства.

Для восьмиугольника обозначим: $\varepsilon = e^{\frac{2\pi i}8}$.

Зададим базис из собственных векторов:
$v_k=(1,\varepsilon^k, \varepsilon^{2k}, \varepsilon^{3k}, \varepsilon^{4k}, \varepsilon^{5k}, \varepsilon^{6k}, \varepsilon^{7k}), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$:

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.4800,0.0000) -- (1.5000,0.0000);\draw [black, thin](2.6000,0.0000) -- (2.4536,0.3536) -- (2.1000,0.5000) -- (1.7464,0.3536) -- (1.6000,0.0000) -- (1.7464,-0.3536) -- (2.1000,-0.5000) -- (2.4536,-0.3536) -- (2.6000,0.0000);\draw [black, thin](3.7000,0.0000) -- (3.2000,0.5000) -- (2.7000,0.0000) -- (3.2000,-0.5000) -- (3.7000,-0.0000) -- (3.2000,0.5000) -- (2.7000,0.0000) -- (3.2000,-0.5000) -- (3.7000,0.0000);\draw [black, thin](4.8000,0.0000) -- (3.9464,0.3536) -- (4.3000,-0.5000) -- (4.6536,0.3536) -- (3.8000,0.0000) -- (4.6536,-0.3536) -- (4.3000,0.5000) -- (3.9464,-0.3536) -- (4.8000,0.0000);\draw [black, thin](5.9000,0.0000) -- (4.9000,0.0000) -- (5.9000,-0.0000) -- (4.9000,0.0000) -- (5.9000,-0.0000) -- (4.9000,0.0000) -- (5.9000,-0.0000) -- (4.9000,0.0000) -- (5.9000,0.0000);\draw [black, thin](7.0000,0.0000) -- (6.1464,-0.3536) -- (6.5000,0.5000) -- (6.8536,-0.3536) -- (6.0000,0.0000) -- (6.8536,0.3536) -- (6.5000,-0.5000) -- (6.1464,0.3536) -- (7.0000,0.0000);\draw [black, thin](8.1000,0.0000) -- (7.6000,-0.5000) -- (7.1000,0.0000) -- (7.6000,0.5000) -- (8.1000,-0.0000) -- (7.6000,-0.5000) -- (7.1000,0.0000) -- (7.6000,0.5000) -- (8.1000,0.0000);\draw [black, thin](9.2000,0.0000) -- (9.0536,-0.3536) -- (8.7000,-0.5000) -- (8.3464,-0.3536) -- (8.2000,0.0000) -- (8.3464,0.3536) -- (8.7000,0.5000) -- (9.0536,0.3536) -- (9.2000,0.0000);\end{tikzpicture}$$

Видимо $8v_1 + 4v_2 - v_3 - v_5 + 6v_6 - 8v_7$ решает задачу.

$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.0000,0.0000) -- (0.1768,1.1642) -- (-1.2500,2.0000) -- (-0.1768,1.6642) -- (1.5000,-0.0000) -- (-0.1768,-1.6642) -- (-1.2500,-2.0000) -- (0.1768,-1.1642) -- (1.0000,0.0000);\end{tikzpicture}$$

[slavav]

Восьмиугольник удобно записать в радикалах:
$(8, \sqrt 2 + (8\sqrt 2 - 2)i, -10 + 16i, -\sqrt 2 + (8\sqrt 2 + 2)i, 12, -\sqrt 2 - (8\sqrt 2 + 2)i, -10 - 16i, \sqrt 2 - (8\sqrt 2 - 2)i)$