2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотические разложения - ошибка в Зориче
Сообщение11.02.2020, 20:13 
Заслуженный участник


13/12/05
3684
В учебнике В.А. Зорич Математический анализ, часть 2 (М.:МЦНМО, 2012) на странице 718 (глава XIX, $\S 1$, задачи и упражения) приводится следующее определение:
Пусть $\{\varphi_n(x)\}$ -- асимптотическая последовательность. Если функции $f(x)$, $\psi_0(x),\psi_1(x),\psi_2(x),\ldots $ таковы, что для любого $n=0,1,\ldots$ имеет место равенство
$$
f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\psi_k(x)+o(\varphi_n(x))\;,
$$
то пишут
$$f(x)\sim \sum\limits_{n=0}^\infty\psi_n(x),\, \{\varphi_n(x)\}$$
и говорят, что имеется асимптотическое разложение в смысле Эрдейи функции $f$.

Далее приводится задача: покажите, что для заданных $f(x)$, $\{\psi_n(x)\}$ и $\{\varphi_n(x)\}$, разложение
$$f(x)\sim \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\psi_n(x),\, \{\varphi_n(x)\}\; ,$$
где $a_n$ -- числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.

Утверждение не верно. Контрпример: $f(x)=0$, $\{\psi_n(x)=e^{-(n+1)x}\}_{n=0}^\infty$, $$\{\varphi_n(x)=x^{-n}\}_{n=0}^\infty$ при $x\to+\infty$. В качестве $a_n$ подойдут любые числа.

А все почему? Потому что Зорич дал неверное определение асимстотического разложение по Эрдейи, забыв важное условие, что для любого $n$ существует $\overline{\lim\limits_{x\to \infty}} \left|\frac{\psi_n(x)}{\varphi_n(x)\right|}=c_n$, $0<c_n<+\infty$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group