Асимптотические разложения - ошибка в Зориче

[Padawan]

В учебнике В.А. Зорич Математический анализ, часть 2 (М.:МЦНМО, 2012) на странице 718 (глава XIX, $\S 1$, задачи и упражения) приводится следующее определение:
Пусть $\{\varphi_n(x)\}$ -- асимптотическая последовательность. Если функции $f(x)$, $\psi_0(x),\psi_1(x),\psi_2(x),\ldots $ таковы, что для любого $n=0,1,\ldots$ имеет место равенство

$$ f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\psi_k(x)+o(\varphi_n(x))\;, $$

то пишут

$$f(x)\sim \sum\limits_{n=0}^\infty\psi_n(x),\, \{\varphi_n(x)\}$$

и говорят, что имеется асимптотическое разложение в смысле Эрдейи функции $f$.

Далее приводится задача: покажите, что для заданных $f(x)$, $\{\psi_n(x)\}$ и $\{\varphi_n(x)\}$, разложение

$$f(x)\sim \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\psi_n(x),\, \{\varphi_n(x)\}\; ,$$

где $a_n$ -- числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.

Утверждение не верно. Контрпример: $f(x)=0$, $\{\psi_n(x)=e^{-(n+1)x}\}_{n=0}^\infty$, $$\{\varphi_n(x)=x^{-n}\}_{n=0}^\infty$ при $x\to+\infty$. В качестве $a_n$ подойдут любые числа.

А все почему? Потому что Зорич дал неверное определение асимстотического разложение по Эрдейи, забыв важное условие, что для любого $n$ существует $\overline{\lim\limits_{x\to \infty}} \left|\frac{\psi_n(x)}{\varphi_n(x)\right|}=c_n$, $0<c_n<+\infty$