Дифференцирование асимптотических разложений

[Padawan]

Теорема. Пусть функция $f(z)$ является аналитической в области $D\subset \mathbb C$, для которой бесконечность является предельной точкой, и пусть $f(z)$ имеет асимптотическое разложение $f(z)\sim\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n}z^{-n}$ при $z\to\infty$, $z\in D$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ производная $f'(z)$ имеет асимптотическое разложение $f'(z)\sim-\sum\limits_{n=1}^\infty{na_n}z^{-n-1}$ при $z\to\infty$ в области $z\in D_\varepsilon=\{z\in D\mid \rho(z,\partial D)>\varepsilon\}$
Доказательство. Для любого натурального числа $N$ существуют числа $R>0$ и $C>0$ такие, что для всех $z\in D$ , $|z|>R$ имеем

$$f(z)=\sum\limits_{n=0}^N a_n z^{-n}+\varphi_N(z)\;\;,$$

где $|\varphi_N(z)|\leqslant C|z|^{-N-1}$ при $|z|>R$.
Пусть $z\in D_\varepsilon$. Возьмём окружность $\gamma$ с центром в точке $z$ и радиусом $\varepsilon$. Тогда $\gamma\subset D$ и $f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2} d\zeta$ для любой точки $z$, лежащей внутри $\gamma$. В частности, для центра окружности. Пусть $\gamma_z$ -- окружность с центром в точке $z\in D_\varepsilon$ и радиусом $\varepsilon$. Тогда

$$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_z}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2} d\zeta$$

Подставив сюда асимптотическое разложение, получим

$$ f'(z)=-\sum\limits_{n=1}^N na_n z^{-n-1} +R_N(z)\; , $$

где $|R_N(z)|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_z} \frac{\varphi_N(\zeta)}{(\zeta-z)^2} d\zeta\right|\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{\gamma_z}\frac{C|\zeta |^{-N-1}}{\varepsilon^2} |d\zeta|=\frac{C}{\varepsilon}(|z|+\varepsilon)^{-N-1}$ при $|z|>R+\varepsilon$. Следовательно, $R_N(z)=O(z^{-N-1})$ при $z\to\infty$, $z\in D_\varepsilon$. Так как $N$ произвольно, это означает, что нужное асимптотическое разложение справедливо.

В учебниках (например, Эрдейи Асимптотические разложение, Федорюк Метод перевала) аналогичная теорема рассматривается для функций, заданных в секторе. Вот, например, теорема из Федорюка https://ibb.co/rvHbxk1. Не совсем понятно, что значит "равномерно по $\arg z$". Это значит, что константа в $O(z^{-N-1})$ зависит только от замкнутого подсектора? Если так то, у меня тоже разложение равномерное в любой области $D_\varepsilon$. Зачем они тогда ограничиваются подсектором, если разложение фактически имеет место в большей области?

И вообще, зачем ограничиваться только сектором. Например, часто функция задана в полосе.