2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцирование асимптотических разложений
Сообщение11.02.2020, 18:03 
Заслуженный участник


13/12/05
3990
Теорема. Пусть функция $f(z)$ является аналитической в области $D\subset \mathbb C$, для которой бесконечность является предельной точкой, и пусть $f(z)$ имеет асимптотическое разложение $f(z)\sim\sum\limits_{n=0}^\infty{a_n}z^{-n}$ при $z\to\infty$, $z\in D$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ производная $f'(z)$ имеет асимптотическое разложение $f'(z)\sim-\sum\limits_{n=1}^\infty{na_n}z^{-n-1}$ при $z\to\infty$ в области $z\in D_\varepsilon=\{z\in D\mid \rho(z,\partial D)>\varepsilon\}$
Доказательство. Для любого натурального числа $N$ существуют числа $R>0$ и $C>0$ такие, что для всех $z\in D$ , $|z|>R$ имеем
$$f(z)=\sum\limits_{n=0}^N a_n z^{-n}+\varphi_N(z)\;\;,$$где $|\varphi_N(z)|\leqslant C|z|^{-N-1}$ при $|z|>R$.
Пусть $z\in D_\varepsilon$. Возьмём окружность $\gamma$ с центром в точке $z$ и радиусом $\varepsilon$. Тогда $\gamma\subset D$ и $f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2} d\zeta$ для любой точки $z$, лежащей внутри $\gamma$. В частности, для центра окружности. Пусть $\gamma_z$ -- окружность с центром в точке $z\in D_\varepsilon$ и радиусом $\varepsilon$. Тогда $$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_z}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2} d\zeta$$
Подставив сюда асимптотическое разложение, получим
$$
f'(z)=-\sum\limits_{n=1}^N na_n z^{-n-1} +R_N(z)\; ,
$$
где $|R_N(z)|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_z} \frac{\varphi_N(\zeta)}{(\zeta-z)^2} d\zeta\right|\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{\gamma_z}\frac{C|\zeta |^{-N-1}}{\varepsilon^2} |d\zeta|=\frac{C}{\varepsilon}(|z|+\varepsilon)^{-N-1}$ при $|z|>R+\varepsilon$. Следовательно, $R_N(z)=O(z^{-N-1})$ при $z\to\infty$, $z\in D_\varepsilon$. Так как $N$ произвольно, это означает, что нужное асимптотическое разложение справедливо.

В учебниках (например, Эрдейи Асимптотические разложение, Федорюк Метод перевала) аналогичная теорема рассматривается для функций, заданных в секторе. Вот, например, теорема из Федорюка https://ibb.co/rvHbxk1. Не совсем понятно, что значит "равномерно по $\arg z$". Это значит, что константа в $O(z^{-N-1})$ зависит только от замкнутого подсектора? Если так то, у меня тоже разложение равномерное в любой области $D_\varepsilon$. Зачем они тогда ограничиваются подсектором, если разложение фактически имеет место в большей области?

И вообще, зачем ограничиваться только сектором. Например, часто функция задана в полосе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group