Виды отображений (функций). Как это освоить?

[vadimm]

Есть ли какие нибудь эффективные способы запоминания понятий всяких видов отображений множеств? Чтобы легко запоминалось, а лучше всего откладывалось на уровне подсознания! Может быть есть какие-то ассоциации для легкого запоминания, методика?

Некоторое время назад читал про это (инъекции, сюръекции, биекции и прочее) и вот опять не могу без справочной литературы решать задачи на эту тему. Например, найти при заданных множествах $X$ и $Y$, отображения (если такие существуют), которые являются инъекцией, сюръекцией, ни тем и не другим и т.д. Нужно вспоминать по книгам, что это такое. Понятное дело, что ежедневно я не сталкиваюсь с этим. Прочитал вскользь примерно полгода назад. Интуитивно понял, решил пару задач и всё. Через полгода оказывается забыл детали, приходится вспоминать, лезть заново в учебники.

Прошу порекомендовать что-нибудь и поднатаскать меня в этом вопросе.

[Otta]

Выучите.

[Munin]

Это вообще мелкая тема. Обычно эти понятия встречаются в математических текстах, посвящённых чему-то другому. Ну так если изучать, скажем, курс математики даже технического вуза (не говоря уже об университете, о математическом вузе), эти понятия встречаются в сумме достаточно часто, чтобы в конце концов запомниться.

Ну и даже если вы делаете задержку, и пытаетесь вспомнить по полминуты, что какой термин значит, это не критично.

А если вы вообще с математикой сталкиваетесь раз в полгода, то просто держите под рукой справочник или Википедию.

[arseniiv]

vadimm
О, видов морфизмов со своим отдельным назаванием куда больше. Как минимум эндо- и автоморфизмы «ективных» аналогов не имеют. Хотя для конечных множеств биекция в себя это перестановка (но для бесконечных перестановками принято звать лишь те, что имеют конечное число подвижных точек).

-- Пн фев 10, 2020 02:22:58 --

Плюс ещё к «екциям» сбоку подкрались проекции, которые выделены не своими внутренними свойствами (точнее не только ими); и среди морфизмов тоже есть например гомеоморфизм, который в линейку остальных не укладывается.

[angor6]

vadimm в сообщении #1439076 писал(а):

Есть ли какие нибудь эффективные способы запоминания понятий всяких видов отображений множеств? Чтобы легко запоминалось, а лучше всего откладывалось на уровне подсознания! Может быть есть какие-то ассоциации для легкого запоминания, методика?

Примерно такая же ситуация возникает при изучении иностранного языка. Поэтому если постоянно не практиковаться в применении этих понятий и повторении их определений, то запомнить раз и навсегда невозможно (да и нужно ли?). Исключение составляют, пожалуй, понятия инъекции, сюръекции и биекции, по-моему.

[damir_777]

Я советую использовать интеллект-карты (Если незнаете что это, то в интернете куча ссылок). Причем они полезны не только в математике, а вообще при изучении различных дисциплин, планировании и т.д. Вам просто нужно найти ассоциации к этим понятиям, и нарисовать. Визуальная информация запоминается легче, чем текстовая, а повтор займет несколько минут. По ассоциациям вы легко вспомните понятия. Например, биекция, это когда каждому элементу первого множества, найдется соотвествующий элемент второго множества, причем два каких -либо элемента первого множества не могут вести к одному и тому же элементу второго множества. Теперь, как подобрать ассоциацию. Представьте, что первое множество-это пингвины. Второе множество-это норка, где должен жить пингвин. Значит биекция-для каждого пингвина есть своя норка, и два разных пингвина не могут жить в одной норке. Конечно, вы можете придумать что то свое. Главное чтобы было понятно. Также и для остальных понятий, инъекции, съюрекции.
К сожалению . проблема многих учебников математики, это отсутствие иллюстрирующих примеров. Чаще, сухая теория. В этом отношении я иногда обращаюсь к западным авторам, там как то более все проилюстрировано. Например, автор Хагарди,Дискретная математика

[arseniiv]

angor6
Да тут всё вытекает просто из наблюдений о работе головы и без всяких исключений и нужды в повторении определений до старости. Если каким-то понятием долго не оперируют, оно наверно через какое-то время забудется, но рабочие понятия будут возникать в голове более-менее регулярно, так что постоянно повторять их определения не придётся, это нужно только в начале (притом тогда одних определений будет недостаточно — если только они не совершенно тривиальные в контексте других известных вещей — а нужно ещё нарассматривать примеров, даже если и создавать их самостоятельно из определений) и весьма недолго и не так-то много раз. И исключений тут никаких отдельных нет, хотя есть конечно корреляция с тем, насколько понятия общеупотребимы в целом, но резких границ в том, насколько хорошо одно держится в памяти, чем другое, ожидать не нужно.

[Munin]

Мне пингвины запоминались бы хуже, чем абстрактные точки.

[angor6]

arseniiv
Я сужу об описанной автором вопроса проблеме, исходя из своего опыта изучения математики на любительском уровне и обладая плохой памятью. Кроме того, учитываю свой опыт чтения лекций и проведения лабораторных занятий по дисциплинам машиностроительного цикла в БНТУ. Только спустя два года я смог свободно оперировать всеми определениями понятий и фактами из теории резания, теории режущих инструментов и теории металлорежущих станков. Прошло четыре года с того дня, как я перестал преподавать эти дисциплины, и я забыл бОльшую часть того, что знал...

В математике, я полагаю, перерыв в деятельности чреват ещё более тяжёлыми последствиями.

[arseniiv]

В математике трудно устроить перерыв в деятельности (без крупных аварий), потому что само занятие математикой требует чтобы в голове крайне регулярно что-то варилось. Иногда без всякой цели. Потому-то общие штуки из головы сами по себе не вывалятся. Есть много историй, как люди открывали что-то и понимали как справиться с какой-то трудностью в математике, идя где-то там по улице или вроде бы вообще занимаясь чем-то другим или отдыхая. Ну а так да, математические понятия ничем в принципе не лучше других. Могут быть и кучи данных, которые стоит иметь в быстром доступе, но которые могут забыться, но нередко такое может быть помещено и в справочник, как в математике, так и нет. Ещё плюс навыки так просто наверно не забываются как фактология.

[Утундрий]

В такой ситуации я бы сочинил какую-нибудь не имеющую отношения к сути, но легко запоминающуюся историю. Скажем, инъекцию можно рассмотреть в медицинском смысле - как серию уколов в ягодичную мышцу. Очевидно, след от укола и введённый препарат находятся в одно-однозначном соответствии. Не менее очевидно, что седалищем весь организм не исчерпывается и на нём остаются также и не исколотые места. В той же парадигме сюрьекция может быть понимаема как организм, утративший жизнедеятельность от пятидесяти пулевых ранений и четыреста штыковых (с) Сюрреализм нарисованной картины поспособствует запоминанию. Ну а биекция это такая неразборчивая в отношениях екция.

[arseniiv]

Там можно и более прямые параллели провести, но надо знать ассоциации с соответствующими морфемами в куче подобной лексики. Получаются параллели между ин-екцией и в-ложением (и для множеств без всякой структуры это одно и то же). Про сюр- я вот не в курсе, зато би- это понятно что два: и ин-, и сюр-. С морфизмами гораздо удобнее: эндо — ясно, внутрь; моно — опять ясно, прообраз один; эпи — ну вроде почти есть всё-таки ассоциации; изо — снова ясно; авто — опять ясно, в себя целиком, а не в какую-то часть. Если лезть в теоркат глубже, можно найти например биморфизм со смыслом как выше: это и моно, и эпи (это уже не обязательно изо). Я тоже не с первого раза назапоминал названия морфизмов (почему-то инъекции, сюръекции и биекции проблем не составили), но вроде всего за заглядывания три-четыре их названия осели (сами же понятия были понятны много быстрее).

То есть никакого насилия над собой в идеале не нужно, и даже мнемоника не понадобится, так что можно со спокойным сердцем кидаться в пучину: если не паниковать и грести как следует, обязательно выплывешь. И даже для запоминания (лишь действительно полезного количества) цифр какого-нибудь золотого сечения не понадобится мнемоника: 1,618, всё замечательно. Мнемоника мне пригодилась в школе для запоминания синусов-косинусов самых частых углов: там значения образуют удобную последовательность $\frac{\sqrt0}2,\frac{\sqrt1}2,\ldots,\frac{\sqrt4}2$.

[Утундрий]

Вопрос только, должна ли мнемоника быть вдобавок и истиной. Когда я, например, запоминаю какая полоска поверх какой на флаге, то просто сочиняю запоминающуюся историю. И мне как-то по барабану на идеосторически верное обоснование. Мне цвета надо запомнить.

[vadimm]

У всех интересные ответы! Некоторые даже забавные Спасибо!

Со всякими морфизмами я еще подробно не разбирался. Я запомнил, что некоторый морфизм -- это элемент множества $Hom(X, Y)$, то есть элемент множества всех возможных отображений между $X, Y$. Только не пойму почему выбрано обозначение $Hom$?

C авто-, гомо-, изо-, эндо, эпи- и др. морфизмами я вообще пока не разбирался.

Что касается биекции, то с этим понятием проще всего. Я его легко запомнил, так как взаимно-однозначное соответствие элементов кажется очень естественной вещью. А вот с инъекцией и сюръекцией у меня всё не просто. Просто было запомнить по приставкам этих слов, что инъекция = вложение (отображение в множество), а сюръекция = наложение (отображение на множество). При каких условиях там эти в и на запоминается сложнее.

[angor6]

vadimm
Исходя из собственного опыта, я могу утверждать, что многое зависит от того, кто или что является для Вас источником информации по отображениям. Сообщите, пожалуйста, если это не секрет.