Вопрос по общей топологии

[starper]

Для решения одной задачи понадобился ответ на вопрос: можно ли представить отрезок в виде континуального объединения попарно не пересекающихся всюду плотных множеств? Ничего полезного в голову не приходит, подскажите, пожалуйста, как подступиться к этому вопросу

[george66]

Введите отношение эквивалентности "разность двух чисел - рациональное число". Рассмотрите классы эквивалентности.

[starper]

george66 в сообщении #1439029 писал(а):

Введите отношение эквивалентности "разность двух чисел - рациональное число". Рассмотрите классы эквивалентности.

Вы намекаете на то, что этих классов континуум и они всюду плотны?

[george66]

Каждый класс имеет вид "некоторое число плюс все рациональные". Ещё чуть-чуть подумайте.

[starper]

george66 в сообщении #1439050 писал(а):

Каждый класс имеет вид "некоторое число плюс все рациональные". Ещё чуть-чуть подумайте.

Вроде бы из такого представления классов и следует, что их континуум и каждый из них всюду плотный на отрезке. То есть, мощность множества классов равна мощности множества иррациональных чисел, а то, что класс имеет вид некоторое число + все рациональные говорит о том, что каждый класс всюду плотный. Или я ошибаюсь?

[arseniiv]

Да, всё так. Разве что не совсем может быть очевидный шаг в вычислении мощности: если бы классов было меньше континуума, какое-нибудь $\alpha$, мы бы не получили континуум вещественных чисел перемножением $|\mathbb Q|\times\alpha = \alpha$.

[Wirus]

starper в сообщении #1439053 писал(а):

george66 в сообщении #1439050 писал(а):

Каждый класс имеет вид "некоторое число плюс все рациональные". Ещё чуть-чуть подумайте.

Вроде бы из такого представления классов и следует, что их континуум и каждый из них всюду плотный на отрезке. То есть, мощность множества классов равна мощности множества иррациональных чисел, а то, что класс имеет вид некоторое число + все рациональные говорит о том, что каждый класс всюду плотный. Или я ошибаюсь?

Для каждого иррационального числа $\alpha$ рассмотрите множество $A_{\alpha}$, состоящее из элементов вида $\alpha+q$, где $q$ пробегает все рациональные числа. Если разность двух иррациональных чисел $q\alpha-\beta$ рациональна, то множества $A_{\alpha}$ и $A_{\beta}$ совпадают. Рассмотрите все различные множества такого вида. Их будет континуум (потому что каждое из множеств счетно, но их объединение континуально), и каждое из них всюду плотно, т.к. множество рациональных чисел всюду плотно.

[starper]

Благодарю всех за помощь!

[Deggial]

Wirus в сообщении #1439072 писал(а):

Для каждого иррационального числа $\alpha$ рассмотрите множество $A_{\alpha}$, состоящее из элементов вида $\alpha+q$, где $q$ пробегает все рациональные числа. Если разность двух иррациональных чисел $q\alpha-\beta$ рациональна, то множества $A_{\alpha}$ и $A_{\beta}$ совпадают. Рассмотрите все различные множества такого вида. Их будет континуум (потому что каждое из множеств счетно, но их объединение континуально), и каждое из них всюду плотно, т.к. множество рациональных чисел всюду плотно.

Wirus, замечание за полное решение простой учебной задачи. Ознакомьтесь с правилами форума:

правила форума писал(а):

1) Нарушением считается:
....
г) Поиск халявы в отношении учебных задач и вопросов; публикация полных готовых решений учебных задач (см. п. III-2); вынесение на обсуждение задач еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад
....