2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 функциональное уравнение
Сообщение09.09.2008, 20:23 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
найти все функции $R \to R$ причем:$f(ax)=f(x)+2f(-x) $ ( где $a \neq 1$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Подставьте $a=0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 20:49 
Аватара пользователя


31/07/07
161
Опечатки нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 23:06 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Если условие выполняется одновременно для всех a, то такая функция только одна, $f(x)=0$ ( достаточно подставить значения $a=0, a=-1$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 23:07 


01/04/07
104
ФПФЭ
Если под $a$ здесь подразумевается параметр, то, думаю, таких функций можно привести сколь угодно много на разные вкусы. Например, всюду разрывная функция (кроме нуля)
$ f(x) = 
\left\{ \begin{array}{l} 
0$, если x\in A$,\\ 
\frac{x^2}{2},$иначе$
\end{array} \right. 
$
при $a=\sqrt{3}$ ($A$ - есть объединение множества рациональных чисел и всех чисел вида $\alpha\sqrt{3}$, $\alpha\in Q$) удовлетворяет приведенному уравнению.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2008, 20:51 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Если $a$ - параметр, то общее решение можно найти посредством последовательного решения уравнений $g(ax)=3g(x)$ и $g(x)=f(x)+f(-x)$. Каждое в отдельности они несложно решаются.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2008, 22:28 


01/04/07
104
ФПФЭ
Mikhail Sokolov писал(а):
Если $a$ - параметр, то общее решение можно найти посредством последовательного решения уравнений $g(ax)=3g(x)$ и $g(x)=f(x)+f(-x)$. Каждое в отдельности они несложно решаются.

В таком случае, не могли бы Вы продемонстрировать решение хотя бы первого из них?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2008, 22:54 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
bobo
Если $\left| a \right| >1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $(-\left| a \right| ,-1]$ и $[1,\left| a \right| )$, а далее итерационно.
Если $\left| a \right| <1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $[-1,-\left| a \right|)$ и $(\left| a \right| ,1]$, а далее итерационно.
Если $a=\pm 1$, то $g(x)$ тождественно равна $0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2008, 23:19 


01/04/07
104
ФПФЭ
Mikhail Sokolov писал(а):
bobo
Если $\left| a \right| >1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $(-\left| a \right| ,-1]$ и $[1,\left| a \right| )$, а далее итерационно.
Если $\left| a \right| <1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $[-1,-\left| a \right|)$ и $(\left| a \right| ,1]$, а далее итерационно.
Если $a=\pm 1$, то $g(x)$ тождественно равна $0$.

Да, все просто. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group