функциональное уравнение

[daogiauvang]

найти все функции $R \to R$ причем:$f(ax)=f(x)+2f(-x) $ ( где $a \neq 1$)

[Бодигрим]

Подставьте $a=0$.

[Trotil]

Опечатки нет?

[id]

Если условие выполняется одновременно для всех a, то такая функция только одна, $f(x)=0$ ( достаточно подставить значения $a=0, a=-1$).

[bobo]

Если под $a$ здесь подразумевается параметр, то, думаю, таких функций можно привести сколь угодно много на разные вкусы. Например, всюду разрывная функция (кроме нуля)
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0$, если x\in A$,\\ \frac{x^2}{2},$иначе$ \end{array} \right. $
при $a=\sqrt{3}$ ($A$ - есть объединение множества рациональных чисел и всех чисел вида $\alpha\sqrt{3}$, $\alpha\in Q$) удовлетворяет приведенному уравнению.

[Mikhail Sokolov]

Если $a$ - параметр, то общее решение можно найти посредством последовательного решения уравнений $g(ax)=3g(x)$ и $g(x)=f(x)+f(-x)$. Каждое в отдельности они несложно решаются.

[bobo]

Mikhail Sokolov писал(а):

Если $a$ - параметр, то общее решение можно найти посредством последовательного решения уравнений $g(ax)=3g(x)$ и $g(x)=f(x)+f(-x)$. Каждое в отдельности они несложно решаются.

В таком случае, не могли бы Вы продемонстрировать решение хотя бы первого из них?

[Mikhail Sokolov]

bobo
Если $\left| a \right| >1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $(-\left| a \right| ,-1]$ и $[1,\left| a \right| )$, а далее итерационно.
Если $\left| a \right| <1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $[-1,-\left| a \right|)$ и $(\left| a \right| ,1]$, а далее итерационно.
Если $a=\pm 1$, то $g(x)$ тождественно равна $0$.

[bobo]

Mikhail Sokolov писал(а):

bobo
Если $\left| a \right| >1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $(-\left| a \right| ,-1]$ и $[1,\left| a \right| )$, а далее итерационно.
Если $\left| a \right| <1$, то определим функцию $g$ произвольно на множествах $[-1,-\left| a \right|)$ и $(\left| a \right| ,1]$, а далее итерационно.
Если $a=\pm 1$, то $g(x)$ тождественно равна $0$.

Да, все просто. Спасибо.