Формула Стирлинга

[khasanov.sm]

Здравствуйте!


Помогите пожалуйста разобраться:

В математическом анализе доказывается формула Стирлинга : $n! \sim \sqrt{2\cdot\pi\cdot n}\cdot n^n \cdot e^{-n}$, демонстрирующая эквивалентность двух функций при $n\to \infty$.

Необходимо проверить с помощью формулы Стирлинга, что $100! > (9,33...)\cdot 10^{157}$.

Данное упражнение предложено в учебнике по алгебре Кострикина, параграф связан с перестановками. НЕ совсем представляю связь задания и параграфа(

[Brukvalub]

В этой статье: https://ru-wiki.ru/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0 выписана формула Стирлинга в виде двойного неравенства. Это должно помочь.

[khasanov.sm]

Brukvalub в сообщении #1438372 писал(а):

В этой статье: https://ru-wiki.ru/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0 выписана формула Стирлинга в виде двойного неравенства. Это должно помочь.

Как-то не очень, так как даже при перемножении на калькуляторе получим, что левое выражение в приведенном двойном неравенстве меньше $9.3(3) \cdot 10^{157}$

[Xaositect]

Так и факториал меньше $9.3(3)\cdot 10^{157}$. Я так понимаю, в задании имеется в виду $9.33$, а не $9.3(3)$.

[svv]

Тот вариант формулы Стирлинга, что в Кострикине, даёт для $100!$ приближённое значение (с недостатком) $9.3248476...\cdot 10^{157}$, с помощью которого нельзя доказать даже, что $100!>9.325\cdot 10^{157}$.
В книге ошибка. Не теряйте времени, пропустите и двигайтесь дальше.

[khasanov.sm]

svv в сообщении #1438383 писал(а):

Тот вариант формулы Стирлинга, что в Кострикине, даёт для $100!$ приближённое значение (с недостатком) $9.3248476...\cdot 10^{157}$, с помощью которого нельзя доказать даже, что $100!>9.325\cdot 10^{157}$.
В книге ошибка. Не теряйте времени, пропустите и двигайтесь дальше.

спасибо!

Но почему вообще данное упражнение было предложено к параграфу про перестановки?

[svv]

Потому что число различных перестановок из $n$ элементов равно $n!$.
Автор хотел показать, что число перестановок так быстро растёт с ростом $n$, что для несчастных $100$ элементов получается уже астрономическое число перестановок. Заодно и с полезной приближённой формулой ознакомить читателя.

[Евгений Машеров]

Вопрос распадается на два подвопроса: зачем вообще это в главе про перестановки, и как доказать данное утверждение.
Затем, что число перестановок факториал, и в большом числе практических задач (не только теорвера) достаточная точность достигается без перемножения n сомножителей, а по формуле Стирлинга, причём часто требуется отношение числа перестановок, и удаётся сократить числитель со знаменателем. То есть советуют необязательный, но весьма полезный инструмент.
А для доказательства надо знать о формуле Стирлинга чуть больше. А именно, что это $n! \sim \sqrt{2\cdot\pi\cdot n}\cdot n^n \cdot e^{-n}$ приближение, полученное из разложения факториала в ряд Стирлинга, в котором надо ещё домножить на $1+\frac 1 {12n}+\frac 1 {288n^2}+\cdots$. Для строгого доказательства надо дать оценку отброшенным членам, но если ограничиться поправкой на $1+\frac 1 {12n}=1.0008333\cdots$, получим вместо "просто-стирлинга", дающего $9.3248476252693432477647561271787e+156$ величину $9.3326183316237032843124758594739e+156$, то, что и требовалось.
Ну, или можно взять оценку
$n! ={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{n}}}$
где $0<\theta _{n}<1$, и тоже придти к оценке, которая заказана, взяв наихудшее значение для тэты.

[svv]

Евгений Машеров в сообщении #1438530 писал(а):

в котором надо ещё домножить на $1+\frac 1 {12n}+\frac 1 {288n^2}+\cdots$. Для строгого доказательства надо дать оценку отброшенным членам

Ыыы... ряд-то асимптотический, для фиксированного $n$ он может давать превосходное приближение, если не брать слишком много членов. А иначе — капец, потому что вообще-то ряд расходится.

[Евгений Машеров]

Ну, а для более строгого - оценку с тэтой. Ряд тут скорее для того, чтобы понять, почему требуется доказать неравенство с величиной, пусть немного, но большей получаемой из формулы Стирлинга.

[novichok2018]

Мне кажется у Сонина была более точная двусторонняя оценка факториала, которую все забыли.

[novichok2018]

Точная ссылка, если кому интересно.
Сонин Н.Я. Об остаточных членах в суммационных формулах Эйлера и
Стирлинга. 1889.
В книге. Н.Я.Сонин. Исследования о цилиндрических функциях... М., 1954.

[vpb]

khasanov.sm в сообщении #1438388 писал(а):

Но почему вообще данное упражнение было предложено к параграфу про перестановки?

Чтоб люди понимали, что симметрическая группа --- это нечто грандиозного размера. И чтоб немного отвлеклись от алгебры и матаном развеялись. И еще, чтоб видели, что математика одна, а не алгебра отдельно, а матан отдельно. В общем, как svv объяснил.

-- 07.02.2020, 02:05 --

novichok2018 в сообщении #1438603 писал(а):

Мне кажется у Сонина была более точная двусторонняя оценка факториала, которую все забыли.

Да, как-то так. Оно, наверное, и неизбежно, потому что времени и места в голове не хватает. Но некоторые, наверное, знают.

[novichok2018]

Кстати в вике и приведены формулы Сонина без ссылки, в которых промежуточные теты в знаменателях, а не в числителях экспоненты, как в более известных формулах. Там же написано, что в нижней оценке в аргументе экспоненты вместо $\frac{1}{n+1}$ можно взять более точное $\frac{1}{n+0.76}$. Наверное, этого достаточно для оценки из Кострикина уже, хотя и не докажешь просто.
За процитированной статьёй Сонина следует в сборнике другая, где ещё более точные оценки.