Подскажите пожалуйста, есть ли какая-нибудь теория по следующему вопросу.
Имеются последовательность
независимых случайных величин и семейство борелевских функций

.
При каких условиях случайные величины

также будут независимыми?
В особенно важном для меня случае, когда

--- последовательность независимых одинаково распределенных симметричных бернуллиевских величин:

, и

(то есть

), новые величины будут независимы.
Если

,

--- независимые одинаково распределенные бернуллиевские величины:

,

и

, то новые величины

будут независимыми если и только если

.
Интересно, что будет в общем случае.