2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Независимость последовательности с.в.
Сообщение02.01.2006, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Подскажите пожалуйста, есть ли какая-нибудь теория по следующему вопросу.

Имеются последовательность
$$\xi_1,\;\xi_2,\ldots$$
независимых случайных величин и семейство борелевских функций
$$(f_n|n\in{\mathbb N}),\quad f_n\colon{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$$.
При каких условиях случайные величины
$$\xi_1,\;f_1(\xi_1)\xi_2,\;f_2(\xi_1,\xi_2)\xi_3,\ldots$$
также будут независимыми?

В особенно важном для меня случае, когда $\{\xi_n\}$ --- последовательность независимых одинаково распределенных симметричных бернуллиевских величин: $P(\xi_n = -1) = P(\xi_n = 1) = 1/2$, и f_n(\pm 1,\ldots, \pm 1)=\pm 1 (то есть $f_n(\{-1,1\}^n)\subseteq\{-1,1\}$), новые величины будут независимы.

Если $\xi_1$, $\xi_2$ --- независимые одинаково распределенные бернуллиевские величины: $P(\xi_n = -1) = p$, $P(\xi_n = 1) = q и $f_1(x) = x$, то новые величины $\xi_1,\;\xi_1\xi_2$ будут независимыми если и только если $p=q=1/2$.

Интересно, что будет в общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Конкретнее
Сообщение03.01.2006, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Пусть $\{\xi_n\}$ --- последовательность независимых одинаково распределенных симметричных бернуллиевских величин: $P(\xi_n = -1) = P(\xi_n = 1) = 1/2$. И пусть $f_n,\; n=1,2,3,\ldots$ --- произвольный набор функций таких, что $f_n$ --- функция от $n$переменных, принимающая только 2 значения $-1$ и $1$. У меня получилось, что новая последовательность случайных величин
$$\xi_1,\:f_1(\xi_1)\xi_2,\:f_2(\xi_1,\xi_2)\xi_3,\ldots\qquad (1)$$
будет также последовательностью независимых одинаково распределенных симметричных бернуллиевских величин.

Я не специалист по теории вероятностей. Очень хочется услышать мнение экспертов --- возможно я ошибаюсь, возможно случайные величины образующие последовательность (1) зависимы?

Задача возникла всвязи со следующим заданным мне вопросом. "В случайном блуждании, зная все перемещения частицы до заданного момента, можно ли, используя эту информацию, как-то "подправить" знак перемещения в настоящий момент чтобы новое "подправленное" блуждание не колебалось около 0, а уходило к $+\infty$?" Я ответил, что это невозможно и в качестве аргумента привел указанные выше рассуждения. Правильно ли я понял вопрос и правильно ли я ответил --- прошу специалистов высказать свое мнение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.01.2006, 23:13 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Интересная задача, надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.03.2006, 14:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
По-моему, все правильно. Действительно, величины (1) независимы при любом выборе функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group