Экспонента оператора

[TelmanStud]

Доброго времени суток!

Пусть $\hat{x}$, $\hat{p}=-i \frac{d}{dx}$ операторы координаты и импульса, и $a$ произвольное комплексное число.
Я знаю , что
$e^{-a i \hat{p}}f(x)=f(x+a)$ и $e^{-a i \hat{x}\hat{p}}f(x)=f(e^a x)$

Хотелось бы спросить про операторы

1. $e^{-a i \hat{p} \hat{x}}$
2. $e^{-a i \left[ \hat{x},\hat{p}}\right]$
3. $e^{-a i \left[ \hat{x},\hat{p}}\right]_+$

Есть ли как и для первых двух явное представление действия данных операторов?

[svv]

Простите, там со знаками всё в порядке?

$$\left.e^{a\frac d{dx}}f(x)\right|_{x_0}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left.\frac {a^n}{n!} \frac{d^n f(x)}{d x^n}\right|_{x_0}=f(x_0+a)$$

Но у Вас-то после подстановки $\hat{p}=-i \frac{d}{dx}$ в $e^{-a i \hat{p}}$ в показателе экспоненты минус получается, а результат всё равно $f(x+a)$.

[TelmanStud]

svv
Виноват Как исправить в исходном?

[svv]

В исходном только с помощью модераторов, но Вы можете привести формулы в исправленном виде.

[TelmanStud]

Пусть $\hat{x}$, $\hat{p}=-i \frac{d}{dx}$ операторы координаты и импульса, и $a$ произвольное комплексное число.
Я знаю , что
$e^{a i \hat{p}}f(x)=f(x+a)$ и $e^{a i \hat{x}\hat{p}}f(x)=f(e^a x)$

Хотелось бы спросить про операторы

1. $e^{a i \hat{p} \hat{x}}$
2. $e^{a i \left[ \hat{x},\hat{p}}\right]$
3. $e^{a i \left[ \hat{x},\hat{p}}\right]_+$

Есть ли как и для первых двух явное представление действия данных операторов?

-- 02.02.2020, 19:28 --

svv
Спасибо Вам. А что нибудь про операторы из списка?

[svv]

a) Давайте умножим оператор на $\hat x$ слева, это поможет. Т.е. рассматриваем $\hat x e^{a i \hat{p} \hat{x}}=\hat x e^{a\frac d{dx}\hat x}$. И пусть $xf(x)=g(x)$. Тогда

$$\hat x e^{a\frac d{dx}\hat x}f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {a^n}{n!}\hat x \left(\frac d{dx} \hat x\right)^n f(x){\color{magenta}=}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {a^n}{n!}\left(\hat x \frac d{dx}\right)^n \hat x f(x)=e^{a \hat x \frac d{dx}}g(x)$$

Тут вся соль в переходе, который я выделил цветом. Пожалуйста, проверьте, что я не ошибся, давайте убедимся, что мы понимаем друг друга.

-- Вс фев 02, 2020 18:29:34 --

Я понимаю, что $\hat x$ и $\frac d{dx}$ не коммутируют, я пользовался только ассоциативностью.

[TelmanStud]

Для меня это

$$\hat x \left(\frac d{dx} \hat x\right)^n=\left(\hat x \frac d{dx}\right)^n \hat x$$

не очевидно. Сейчас проверю

-- 02.02.2020, 20:41 --

svv в сообщении #1437955 писал(а):

Я понимаю, что $\hat x$ и $\frac d{dx}$ не коммутируют, я пользовался только ассоциативностью.

Вроде все ок.
Получается

$$e^{ai\hat{p}\hat{x} }f(x)=e^a f(e^a x)\,\,?$$

[svv]

По-моему, там даже $x$ сокращается. Потому что если $g(x)=xf(x)$, то
$g(e^a x)=e^a x f(e^a x)$

Да, у меня так же.

[TelmanStud]

svv
Спасибо. Может посоветуете с пунктом b. Кажется такой трюк уже не пройдет из за разности(.

[g______d]

Так а чему равен $[\hat x,\hat p]$?

[TelmanStud]

g______d в сообщении #1437965 писал(а):

Так а чему равен $[\hat x,\hat p]$?

$e^{a i\left[\hat{x},\hat{p}\right]}f(x)=\frac{1}{e^a}f(x)\,\,?$

[svv]

У меня не так, напишите, чему у Вас равен коммутатор $[\hat x,\hat p]$?

[TelmanStud]

svv в сообщении #1437971 писал(а):

У меня не так, напишите, чему у Вас равен коммутатор $[\hat x,\hat p]$?

$[\hat x,\hat p]=i$

[svv]

Да, простите, это я ошибся, у Вас правильно.

[TelmanStud]

svv
А есть у Вас предложения на счет третьего?
Интересно,нет ли другого алгоритма кроме как рассматривать ряды?