Найти определитель матрицы

[Platon555]

Дана матрица M размером $n\times n$, где $m_{ij} = a_{i}a_{j}, i\ne j; m_{ii} = a_{i}^2+k, i,j = 1,...,n$
Найти определитель это матрицы.
Представив эту матрицу в виде $M = kE + uu^T$ и используя формулу $\det(X+cr) = \det(X) + r\cdot adj(X) \cdot c$, получил $\det(M) = k^{n-1}(k + \sum_{n=1}^{\ n} a_{i}^2)$.

Ответ сходится со следующим решение, которое мне непонятно:
Представляем матрицу в виде $M = kE + uu^T$ где $u^T = (a_{1} a_{2}...a_{n} )$ далее заметим что $(uu^T)x = uu^Tx = (u,x)u$(непонятное утверждение). Пространство $V$, на котором действует $uu^T$, раскладывается в прямую сумму $<u>\oplus<u>^{\perp}$(второе непонятное утверждение). Нетрудно видеть что оба слагаемых являются собственными подпространствами для $uu^T$(мне трудно) с собственными значениями $u^Tu = \sum_{n=1}^{\ n} a_{i}^2$ и 0 (почему?) И в итоге получает такой же ответ как я.

[Утундрий]

ПНУ (первое непонятное утверждение): Что строку на столбец, что упавший столбец на вставшую строку - скаляр единый.
ВНУ (второе непонятное утверждение): Проектор кладёт строго вдоль себя. Поэтому всё, что поперёк - не устоит.

[Platon555]

Утундрий в сообщении #1437775 писал(а):

ПНУ (первое непонятное утверждение): Что строку на столбец, что упавший столбец на вставшую строку - скаляр единый.
ВНУ (второе непонятное утверждение): Проектор кладёт строго вдоль себя. Поэтому всё, что поперёк - не устоит.

Извините, но я не понимаю ваших оборотов(

Из равенства $(uu^T)x = uu^Tx = (u,x)u$ мне непонятно выражение после второго знака равенства, и что оно нам дает;
Второе утверждение про прямую сумму кажется логичным, но хотелось бы яснее понять.
А вот про собственные подпространства и про собственные значения, вообще непонятно.
И в общем я не могу уловить ход мыслей

[Утундрий]

Вы очень подробно расписали чего вы не понимаете. Какой реакции вы ждёте?

[Platon555]

Утундрий в сообщении #1437795 писал(а):

Вы очень подробно расписали чего вы не понимаете. Какой реакции вы ждёте?

Более конкретного объяснения, на основании чего сделано то или иное утверждение.

[Утундрий]

Platon555 в сообщении #1437797 писал(а):

Более конкретного объяснения, на основании чего сделано то или иное утверждение.

Нет, так дело не пойдёт. Продемонстрируйте собственные попытки доказательства.

[Platon555]

Утундрий в сообщении #1437798 писал(а):

Platon555 в сообщении #1437797 писал(а):

Более конкретного объяснения, на основании чего сделано то или иное утверждение.

Нет, так дело не пойдёт. Продемонстрируйте собственные попытки доказательства.

Хорошо, мы представили матрицу М в виде $M = kE + uu^T$, определитель которой равен $\det(M) = \det(kE + uu^T) = \prod\limits_{i}^{}(\lambda_{i}+k)$. Следовательно необходимо найти собственные значения для матрицы $uu^T$ Найдем собственные значения для оператора $uu^T$

$$\det \begin{pmatrix} a_{1}^2 - \lambda & a_{1}a_{2} \\ a_{2}a_{1} & a_{2}^2 - \lambda \\ \end{pmatrix} = 0 $$

Решаем получаем два собственных значения $a_{1}^2+a_{2}^2$ и 0
Подставляем и получаем искомый ответ

[Утундрий]

Platon555 в сообщении #1437803 писал(а):

Подставляем и получаем искомый ответ

Подставьте и получите, пожалуйста.

[Platon555]

Утундрий в сообщении #1437805 писал(а):

Platon555 в сообщении #1437803 писал(а):

Подставляем и получаем искомый ответ

Подставьте и получите, пожалуйста.

$\det(M) = \det(kE + uu^T) = \prod\limits_{i=1}^{2}(\lambda_{i}+k) = (0 + k)(a_{1}^2+a_{2}^2 + k)$

[Утундрий]

Итак, вы успешно проверили формулу для случая $n=2$. Что думаете делать дальше?

[Platon555]

Утундрий в сообщении #1437808 писал(а):

Итак, вы успешно проверили формулу для случая $n=2$. Что думаете делать дальше?

Определиться с кратностью собственные значений)

[vpb]

Platon555
Полезно подумать, вообще, каков ранг матрицы $uu^T$ ? Нельзя ли для этой матрицы предъявить собственный вектор ? И какие можно сделать выводы относительно того, каковы её собственные значения, с кратностями ?

[Platon555]

vpb в сообщении #1437814 писал(а):

Platon555
Полезно подумать, вообще, каков ранг матрицы $uu^T$ ? Нельзя ли для этой матрицы предъявить собственный вектор ? И какие можно сделать выводы относительно того, каковы её собственные значения, с кратностями ?

Геометрическая кратность $\lambda$ равна $n - r$ где $r = range (A- \lambda E)$
при $\lambda = 0$ ранг данной матрицы(по сути ранг $uu^T$) равен 1, следовательно геометрическая кратность $\lambda = 0$ равна $n - 1$

[vpb]

Platon555 в сообщении #1437856 писал(а):

при $\lambda = 0$ ранг данной матрицы(по сути ранг $uu^T$) равен 1, следовательно геометрическая кратность $\lambda = 0$ равна $n - 1$

Верно. Теперь можно подумать над следующим вопросом.

[Platon555]

vpb в сообщении #1437858 писал(а):

Platon555 в сообщении #1437856 писал(а):

при $\lambda = 0$ ранг данной матрицы(по сути ранг $uu^T$) равен 1, следовательно геометрическая кратность $\lambda = 0$ равна $n - 1$

Верно. Теперь можно подумать над следующим вопросом.

Вы имеете ввиду подбор собственного вектора?