Уравнение отношений, в которых членов более двух

[Axcel]

Здравствуйте.

Прошу указать на тему (область) математики в которой нужно искать основание для подобного рода преобразования.

Цитата:

Составим отношение из числовых значений пройденных путей:

$${l_1}:{l_2}:{l_3}:{l_4}:{l_5} = \left( {\frac{a}{2} \cdot 1} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 3} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 5} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 7} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 9} \right)$$

Преобразуя правую часть равенства получим:

$${l_1}:{l_2}:{l_3}:{l_4}:{l_5} = 1:3:5:7:9$$

Чтобы было видно как я вообще понимаю это, привожу далее свои рассуждения.

Отношение есть суть частное от деления, поэтому преобразовать правую часть равенства не затрагивая левую, значит выполнить указанные в ней действия умножения и деления. То есть:

$$\left( {\frac{a}{2} \cdot 1} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 3} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 5} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 7} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 9} \right) = \frac{a}{2}:\frac{{3a}}{2}:\frac{{5a}}{2}:\frac{{7a}}{2}:\frac{{9a}}{2}$$

Поскольку в выражении никак не указан особый порядок действий для деления, то оно выполняется слева-направо. Но деление одного числа на другое есть умножение первого на число, обратное второму, следовательно:

$$\frac{a}{2}:\frac{{3a}}{2}:\frac{{5a}}{2}:\frac{{7a}}{2}:\frac{{9a}}{2} = \left\{ {\left[ {\left( {\frac{a}{2} \cdot \frac{2}{{3a}}} \right) \cdot \frac{2}{{5a}}} \right] \cdot \frac{2}{{7a}}} \right\} \cdot \frac{2}{{9a}} = \frac{{{2^3}}}{{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9{a^3}}} = \frac{{{2^3}}}{{945{a^3}}}$$

Однако, по этим же правилам

$$1:3:5:7:9 = \left\{ {\left[ {\left( {1 \cdot \frac{1}{3}} \right) \cdot \frac{1}{5}} \right] \cdot \frac{1}{7}} \right\} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}} = \frac{1}{{945}}$$

Значит равенство

$$\left( {\frac{a}{2} \cdot 1} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 3} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 5} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 7} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 9} \right) = 1:3:5:7:9$$

выполняется только при

$$a = 2$$

Таким образом,

$${l_1}:{l_2}:{l_3}:{l_4}:{l_5} \ne 1:3:5:7:9$$

Или иначе, не является тождеством.

Где ошибка в моих рассуждениях? Что я не учитываю?


Замечу, что у меня нет сомнений в тождественности последнего равенства, так как я его могу доказать геометрически (речь про пути, проходимые в равноускоренном движении за равные последовательные промежутки времени). Но вот другой пример (из химии):



Интуитивно вроде не вызывает сомнений, но для того чтобы обосновать математически неясно какие использовать основания, поскольку это не отношение двух членов, а, значит, сократить их общий множитель как у обычной дроби нельзя.

[Утундрий]

Axcel в сообщении #1437646 писал(а):

Поскольку в выражении никак не указан особый порядок действий для деления, то оно выполняется слева-направо.

Поскольку цвет сфер не указан, то все сферы красные...

[Someone]

Насколько я помню, меня обучали работе с пропорциями где-то в младших классах школы. Никак не позже четвёртого. И уже тогда мне было понятно что пропорция — это не деление. В частности, пропорция

Axcel в сообщении #1437646 писал(а):

$${l_1}:{l_2}:{l_3}:{l_4}:{l_5} = \left( {\frac{a}{2} \cdot 1} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 3} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 5} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 7} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 9} \right)$$

есть сокращённый способ записи ряда равенств

$$\frac{l_1}{\frac a2\cdot 1}=\frac{l_2}{\frac a2\cdot 3}=\frac{l_3}{\frac a2\cdot 5}=\frac{l_4}{\frac a2\cdot 7}=\frac{l_5}{\frac a2\cdot 9}.$$

Вы хотите развязать тут длительную дискуссию на пустом месте?

[Axcel]

Значит у меня такой пробел в знаниях, раз я не знал что выражение вида

$${l_1}:{l_2}:{l_3}:{l_4}:{l_5} = \left( {\frac{a}{2} \cdot 1} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 3} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 5} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 7} \right):\left( {\frac{a}{2} \cdot 9} \right)$$

есть просто-напросто пропорция. Спасибо, что хоть вы здесь мне помогли в этом разобраться. Так как, увы, но в учебниках математики (и алгебры), про пропорцию сказано черным по белому, что это "равенство двух отношений" и никакого упоминания о таком способе записи я не встречал в них (ни в одном). И, прошу заметить, что пропорцию я делением не называл. Делением я назвал отношение, а отношение само по себе пропорцией не является. Тему можете закрывать. Всего доброго.

[Someone]

Axcel в сообщении #1437659 писал(а):

про пропорцию сказано черным по белому, что это "равенство двух отношений" и никакого упоминания о таком способе записи я не встречал в них (ни в одном).

Ну, равенство двух отношений $a:b=c:d$ действительно сплошь и рядом записывают в виде $\frac ab=\frac cd$. Но его можно записать и в виде $\frac ac=\frac bd$. Первый способ на "длинные" пропорции типа $a:b:c=d:e:f$ не обобщается, а второй является, по-моему, стандартным: $\frac ad=\frac be=\frac cf$.

(Axcel)

Извините, что я Вас заподозрил в троллинге, но часто подобным образом начинается многостраничная тема, в которой участники пытаются разъяснить какую-нибудь банальность человеку, притворяющемуся придурком.

[Munin]

Someone
К сожалению, в школе вообще ни разу на математике не объясняют, что это за запись с несколькими двоеточиями. Всем приходится догадываться самим.

Кроме того, оба ваших способа интерпретации неполноценны. Например, вполне можно записать $7:0:6=14:0:12,$ а вот если переписывать это через деления, то возникнут проблемы.

[arseniiv]

Да, самая неубиваемая развёртка $a_1:\ldots:a_n = b_1:\ldots:b_n$ — это достаточно громоздкое $\exists\lambda,\mu.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = \mu\,(b_1,\ldots,b_n)$.

-- Пт янв 31, 2020 19:59:29 --

Ага, я тоже промазал. Если $\lambda=\mu=0$, получается ерунда. То есть получается уже действительно громоздкая вещь

$$\exists\lambda.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n) \vee \exists\mu.\; (a_1,\ldots,a_n) = \mu\,(b_1,\ldots,b_n),$$

которую я хотел избежать.

[venco]

arseniiv в сообщении #1437724 писал(а):

То есть получается уже действительно громоздкая вещь

$$\exists\lambda.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n) \vee \exists\mu.\; (a_1,\ldots,a_n) = \mu\,(b_1,\ldots,b_n),$$

которую я хотел избежать.

Достаточно одной лямбды:

$$\exists\lambda.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n) \vee (a_1,\ldots,a_n) = \lambda\,(b_1,\ldots,b_n),$$

[arseniiv]

Да, я просто решил, что с двумя переменными будет нагляднее, хотя не уверен.

[mihaild]

Нетранзитивно получается - $0:0 = a:b$ для любых $a$ и $b$.

[Padawan]

Axcel в сообщении #1437646 писал(а):

Прошу указать на тему (область) математики в которой нужно искать основание для подобного рода преобразования.

Проективное пространство, Однородные координаты (ру Вики)

[arseniiv]

mihaild
Должно ли оно в обычном употреблении выполняться только для $(a, b) = (0, 0)$? Тут я не очень в курсе.

Да, если связывать с $K\mathrm P^n$, тогда должно, и в принципе это наверно самое полезное точное понимание, но всё равно я не уверен.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1437724 писал(а):

То есть получается уже действительно громоздкая вещь

$$\exists\lambda.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n) \vee \exists\mu.\; (a_1,\ldots,a_n) = \mu\,(b_1,\ldots,b_n),$$

которую я хотел избежать.

venco в сообщении #1437736 писал(а):

Достаточно одной лямбды:

$$\exists\lambda.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n) \vee (a_1,\ldots,a_n) = \lambda\,(b_1,\ldots,b_n),$$

Как я понимаю,

$$R\,(a_1,\ldots,a_n)\,\,\cap\,\,R\,(b_1,\ldots,b_n)\ne 0,$$

где $R$ - кольцо, над которым мы живём.

[arseniiv]

А чем например является $\mathbb Q(2, 3)$?

Если считать, что $0 : 0 : \ldots$ соотносится только с $0 : 0 : \ldots$, тогда всё просто: подмодуль, порождённый $(a_1,\ldots,a_n)$, должен совпадать с подмодулем, порождённым $(b_1,\ldots,b_n)$ (в модуле $K^n$). Впрочем или давать ненулевое пересечение. Для колец как-то скорее всего эту нотацию уже не используют, а для полей всё едино.

[mihaild]

Munin в сообщении #1437749 писал(а):

$R\,(a_1,\ldots,a_n)\,\,\cap\,\,R\,(b_1,\ldots,b_n)\ne 0$

Тогда нарушается рефлексивность: $(0, 0) \neq (0, 0)$.

В однородных координатах $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$ если $\exists \lambda \neq 0 \forall i: x_i = \lambda y_i$. И это уже честное отношение эквивалентности - один одноэлементый нулевой класс, и однопараметрические остальные. Обобщением на кольцо без делителей нуля может быть вариант

arseniiv в сообщении #1437724 писал(а):

$\exists\lambda.\; \lambda\,(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n) \vee \exists\mu.\; (a_1,\ldots,a_n) = \mu\,(b_1,\ldots,b_n)$

, если добавить $\lambda \neq 0$, $\mu \neq 0$. С делителями нуля ничего хорошего тут не получить в любом случае.

Про пропорции - в школе вроде бы обычно такие детали игнорируют, а что делают химики (и кто еще пишет отношения в таком виде в реальной жизни) - надо спрашивать у них (хотя подозреваю что смеси в которых каждый элемент входит в количестве 0 атомов им не очень интересны).