2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение30.01.2020, 19:47 


24/01/20
3
Не совсем понимаю, какую роль играет эпсилон-окрестность в определении предела последовательности. Откуда взялась и почему именно маленький эпсилон? Еще и запись $|X_n - a| < \varepsilon$ говорящая, что расстояние между элементами в окрестности и пределом меньше чем эпсилон... Что-то я не понимаю, какое отношение это все имеет к понятию предела последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение30.01.2020, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Nanaki в сообщении #1437635 писал(а):
Еще и запись $|X_n - a| < \varepsilon$
Это Вы из механизма вынули батарейки — кванторы, без которых механизм работать не будет. Вернём их обратно:
$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb N, \;  \forall n \geqslant N,\; |x_n - a| < \varepsilon$

Формулу с двумя разными кванторами с непривычки тяжело понять. Посмотрите картинки здесь, это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение30.01.2020, 20:32 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
svv в сообщении #1437640 писал(а):
$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb N, \;  n \geqslant N \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon$

Формулу с двумя разными кванторами

перед $n$ тоже квантор надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение30.01.2020, 21:00 


24/01/20
3
Спасибо за Ваши ответы.Меня больше волнует попадание элементов в окрестность.Как бы попали они туда и значит есть предел, но ведь можно было просто сказать, что последовательность стремится к какому-то числу и все.Зачем эта окрестность и какую роль она играет - вот что мне не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение30.01.2020, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Nanaki в сообщении #1437643 писал(а):
Как бы попали они туда и значит есть предел
Ну не так же! Какую бы малую окрестность Вы ни взяли, все элементы последовательности, начиная с какого-то номера, попадут в эту окрестность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение30.01.2020, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
Nanaki в сообщении #1437643 писал(а):
но ведь можно было просто сказать, что последовательность стремится к какому-то числу и все
Сможете сказать "просто так", имеет ли предел вот такая последовательность, и если да, то какой:
$$
1,\,0,\,1,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,\ldots
$$

-- 30.01.2020, 21:48 --

svv в сообщении #1437640 писал(а):
$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb N, \;  \forall n \geqslant N,\; |x_n - a| < \varepsilon$
Попробуем прочитать эту формулу.

Начнём с конца. $|x_n-a|<\varepsilon$ можно эквивалентно переписать как $-\varepsilon<x_n-a<\varepsilon$, или как $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$. Итак, данное неравенство означает, что член последовательности $x_n$ лежит в интервале $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$, который называется окрестностью точки $a$ с радиусом $\varepsilon$ (ещё говорят: $\varepsilon$-окрестность точки $a$). Почему окрестность - должно быть понятно, если вы нарисуете этот интервал на числовой прямой: отступаете от точки $a$ на $\varepsilon$ влево и на $\varepsilon$ вправо, вот и получаете окрестность. Если $\varepsilon$ малое, то все точки окрестности лежат рядом с $a$.

Теперь читаем формулу с начала: для любого радиуса окрестности $\varepsilon>0$, найдётся номер $N$, начиная с которого ($\forall n\geq N$ - это значит для $n=N,\,N+1,\,N+2,\,\ldots$ - то есть для всех номеров $n$, начиная с номера $N$) выполнено это самое неравенство - то есть члены последовательности лежат в $\varepsilon$-окрестности точки $a$.

Переформулируем: какую бы окрестность точки $a$ мы ни взяли, в ней лежат все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Именно это и означает, что последовательность "стремится" к $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение31.01.2020, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
svv в сообщении #1437640 писал(а):
Формулу с двумя разными кванторами с непривычки тяжело понять. Посмотрите картинки здесь, это поможет.

Спасибо за отличные картинки!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение31.01.2020, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
На тех картинках последовательность "зажимается" всё более узкой трубкой, а для себя я обычно представляю неотвратимо сжимающиеся тиски.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение31.01.2020, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Оба образа хороши. Но "трубка" работает и в том случае, когда последовательность принимает значения в более чем одномерном пространстве. Пустячок, а приятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности. Эпсилон-окрестность
Сообщение31.01.2020, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Лицам, страдающим клаустрофобией, вход в "трубку" воспрещён.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group