Предел последовательности. Эпсилон-окрестность

[Nanaki]

Не совсем понимаю, какую роль играет эпсилон-окрестность в определении предела последовательности. Откуда взялась и почему именно маленький эпсилон? Еще и запись $|X_n - a| < \varepsilon$ говорящая, что расстояние между элементами в окрестности и пределом меньше чем эпсилон... Что-то я не понимаю, какое отношение это все имеет к понятию предела последовательности.

[svv]

Nanaki в сообщении #1437635 писал(а):

Еще и запись $|X_n - a| < \varepsilon$

Это Вы из механизма вынули батарейки — кванторы, без которых механизм работать не будет. Вернём их обратно:
$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb N, \; \forall n \geqslant N,\; |x_n - a| < \varepsilon$

Формулу с двумя разными кванторами с непривычки тяжело понять. Посмотрите картинки здесь, это поможет.

[Padawan]

svv в сообщении #1437640 писал(а):

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb N, \; n \geqslant N \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon$

Формулу с двумя разными кванторами

перед $n$ тоже квантор надо

[Nanaki]

Спасибо за Ваши ответы.Меня больше волнует попадание элементов в окрестность.Как бы попали они туда и значит есть предел, но ведь можно было просто сказать, что последовательность стремится к какому-то числу и все.Зачем эта окрестность и какую роль она играет - вот что мне не понятно.

[svv]

Nanaki в сообщении #1437643 писал(а):

Как бы попали они туда и значит есть предел

Ну не так же! Какую бы малую окрестность Вы ни взяли, все элементы последовательности, начиная с какого-то номера, попадут в эту окрестность.

[Mikhail_K]

Nanaki в сообщении #1437643 писал(а):

но ведь можно было просто сказать, что последовательность стремится к какому-то числу и все

Сможете сказать "просто так", имеет ли предел вот такая последовательность, и если да, то какой:

$$ 1,\,0,\,1,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,\ldots $$

-- 30.01.2020, 21:48 --

svv в сообщении #1437640 писал(а):

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb N, \; \forall n \geqslant N,\; |x_n - a| < \varepsilon$

Попробуем прочитать эту формулу.

Начнём с конца. $|x_n-a|<\varepsilon$ можно эквивалентно переписать как $-\varepsilon<x_n-a<\varepsilon$, или как $a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon$. Итак, данное неравенство означает, что член последовательности $x_n$ лежит в интервале $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$, который называется окрестностью точки $a$ с радиусом $\varepsilon$ (ещё говорят: $\varepsilon$-окрестность точки $a$). Почему окрестность - должно быть понятно, если вы нарисуете этот интервал на числовой прямой: отступаете от точки $a$ на $\varepsilon$ влево и на $\varepsilon$ вправо, вот и получаете окрестность. Если $\varepsilon$ малое, то все точки окрестности лежат рядом с $a$.

Теперь читаем формулу с начала: для любого радиуса окрестности $\varepsilon>0$, найдётся номер $N$, начиная с которого ($\forall n\geq N$ - это значит для $n=N,\,N+1,\,N+2,\,\ldots$ - то есть для всех номеров $n$, начиная с номера $N$) выполнено это самое неравенство - то есть члены последовательности лежат в $\varepsilon$-окрестности точки $a$.

Переформулируем: какую бы окрестность точки $a$ мы ни взяли, в ней лежат все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Именно это и означает, что последовательность "стремится" к $a$.

[Munin]

svv в сообщении #1437640 писал(а):

Формулу с двумя разными кванторами с непривычки тяжело понять. Посмотрите картинки здесь, это поможет.

Спасибо за отличные картинки!

[svv]

На тех картинках последовательность "зажимается" всё более узкой трубкой, а для себя я обычно представляю неотвратимо сжимающиеся тиски.

[Munin]

Оба образа хороши. Но "трубка" работает и в том случае, когда последовательность принимает значения в более чем одномерном пространстве. Пустячок, а приятно.

[svv]

Лицам, страдающим клаустрофобией, вход в "трубку" воспрещён.