О продолжении непрерывных отображений

[Mikhail_K]

Читаю:

Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии писал(а):

В топологии часто встречается задача о продолжении непрерывного отображения $f:A\to Y$, где $A\subset X$, до непрерывного отображения всего пространства $X$ в $Y$.

Можно привести примеры, где именно встречается такая задача? Так как сказано, что она встречается часто, хотелось бы, в идеале, знать несколько существенно различных примеров. Примеры вне топологии также приветствуются. Особенно если они будут более интересные, чем, скажем, продолжение линейного ограниченного функционала или оператора в линейном нормированном пространстве с линейного многообразия на всё пространство.

[g______d]

В топологии есть целый раздел: теория препятствий, посвящённый разным топологическим запретам (препятствиям) на продолжение непрерывного отображения с меньшего пространства на большее. Я в этом не эксперт, но можно, например, посмотреть ссылки из Вики

https://en.wikipedia.org/wiki/Obstruction_theory

Хотя там всего три ссылки, а учебников намного больше.

В анализе: если есть непрерывная функция на замкнутом подмножестве $\mathbb R^n$, то есть естественный вопрос: является ли она сужением непрерывной функции с $\mathbb R^n$ на это подмножество? Ответ да, но доказательство не вполне тривиально (то ли теорема Титце, то ли Уитни).

Тот же самый вопрос для гладких функций ещё менее тривиален

https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_extension_theorem

И в принципе само по себе интересно, можно ли определить гладкость во "внутренних" терминах замкнутого подмножества. А если это подмногообразие, то там уже есть внутреннее определение гладкой функции, и надо ещё разбираться, совпадают ли они. Ответ да. Но если мы не в $\mathbb R^n$, а на каком-то другом многообразии, а вместо функций сечения расслоений, может быть ещё и не векторных -- тогда кто знает. Бывают расслоения (не векторные), у которых вообще нет непрерывных сечений.

Прямое приложение подобных результатов (имеются в виду теоремы типа Уитни, чистый анализ без топологии) -- теоремы вложения Соболева в областях, особенно в случаях, когда граница не гладкая; потому что в $\mathbb R^n$ доказывать теоремы вложения намного проще, и нужно научиться расширять функции так, чтобы норма увеличивалась не более чем в константу раз. Сам оператор продолжения не обязан быть линейным.

[Mikhail_K]

g______d в сообщении #1437308 писал(а):

теоремы вложения Соболева в областях, особенно в случаях, когда граница не гладкая

Здорово! Спасибо, ознакомлюсь.