Тригонометрическая окружность и тангенс с котангенсом.

[Cheloveck]

Здравствуйте.Я бы хотел разобраться с тем,как решать тригонометрические неравенства содержащие как функции синуса/косинуса так и тангенса/котангенса именно через тригонометрическую окружность.Сразу скажу,что я школьник и могу хорошо преобразовывать отдельные уравнения/неравенства из системы и сводить к простейшим(для школьника),но как только в системе появляется к примеру два простейших неравенства и одно из них с функцией синуса/косинуса,а другое тангенса/котангенса,то я не знаю как это изобразить на тригонометрической окружности,нет,точнее я знаю,но точно не понимаю как,чтобы было нагляднее я покажу систему которую я решал,с виду она простая да и ничего там не надо особо делать,кроме как использовать окружность. $\cos(x)<\frac{4}{9}$ -это первое; $\ctg(x)>-3$ -это второе.Ну и покажу как я решал,а точнее точно сделал ошибку и это не первая система не решённая мною.$\cos(x)<\frac{4}{9}\Rightarrow \arccos(\frac{4}{9})+2\cdot\pi\cdotk<x<2\cdot\pi-\arccos(\frac{4}{9})+2k\cdot\pi$ далее изображаем на окружности.Если мысленно представить график функции котангенса то из того,что $\ctg(x)>-3$ следует,что $\arcctg(-3)+\pi\cdotk<x<\pi+k\pi$ и тут уже неизвестно как расположены точки между собой,ясное дело,что нужно найти одну из функции расположенных чисел и сравнить(главное,чтобы обе функции были одинаковые) и вот я вычисляю.Используя одно из тождеств которое связывает тангенс и косинус я сразу меняю тангенс на обратный ему котангенс и выражаю квадрат косинуса,всё это при условии,что котангенс равен -3,но тут я уже начинаю не понимать,значений косинуса уже будет два и не представляю как это расположить на окружности.Если значений два то как это будет выглядеть ? Я не могу увидеть вообще как точка соответствующая котангенсу равному -3 имеет два расположения,мои мысли просто тут обрываются,я знаю,что может это легко,но почему-то я просто не могу тут думать.Да,я могу решить построив графики,но сажусь при решении по окружности,я думаю мне нужно увидеть что-то,что покажет мне связь котангенса с косинусом.Я видел ось тангенсов и котангенсов,но не понимаю как они помогают в решении,я думаю очень подробное решение хоть одной такой системы мне хоть немного поможет.

[angor6]

А по какому учебнику Вы изучаете тригонометрию?

[gris]

графически период косинуса окружность, а котангенса полуокружность. неравенство лучше решать отдельно для верхней и нижней полуокружности. разметив её от нуля до двух пи. дуги решений проходятся против часовой стрелки.
мелочь: в ответах в левых частях $k$ пропущено. бывает, придираются
вот простой пример, на котором часто ошибаются: $\sin x>-0.5;\cos x>-0.5$. показать решение системы на окружности.

[Mihr]

Cheloveck, попробую показать, как я решал бы Вашу задачу.
1. Так как период котангенса всего-навсего $\pi$, на окружности неравенству с котангенсом будут соответствовать сразу две дуги (о чём Вам говорит gris). Поэтому начнём с "более сложного" - с изображения решения неравенства $\ctg x >-3$. Отмечаем на окружности точки, где котангенс равен $-3$ (и, значит, тангенс равен $-\dfrac{1}{3}$). Это точка $-\arctg \dfrac{1}{3}$ и диаметрально противоположная ей - точка $\pi-\arctg \dfrac{1}{3}$. Кроме того, отмечаем точки, в которых котангенс не существует - точки $0$ и $\pi$ (обозначения этих точек потом, возможно, придётся поправить; пока пусть будет так). Получаем первую картинку:


2. Теперь, учитывая, что котангенс - функция убывающая, делаем вывод, что для решения неравенства $\ctg x >-3$ нам нужно выбрать значения аргумента меньшие чем $\pi-\arctg \dfrac{1}{3}$ (на верхней дуге). Таким образом, выбираем интервал $(0; \pi-\arctg \dfrac{1}{3})$ на верхней дуге, отмечаем его штриховкой. Мысленно поворачиваем его на $\pi$ и добавляем штриховку на аналогичный фрагмент нижней полуокружности - получаем вторую картинку:


3. Теперь пришло время учесть неравенство с косинусом. Проводим вертикальную прямую, которая рассечёт окружность в точках, соответствующих значениям косинуса $\dfrac{4}{9}$, то есть в точках $\pm\arccos\dfrac{4}{9}$, выбираем часть окружности слева от этой прямой - см. третью картинку:


4. Прежде чем выписывать ответ, проверим корректность наших обозначений на рисунке. Легко заметить, что точку, которую мы первоначально обозначили как $\pi$, следует переобозначить как $-\pi$ (чтобы при возрастании аргумента мы дошли до значения $-\arctg \dfrac{1}{3}$). Дорисовываем там где надо знак "минус":


5. Можно начинать выписывать ответ. Нам нужно включить в ответ лишь те фрагменты заштрихованных дуг, которые расположены левее нашей вертикальной прямой. Записываем:

$$x\in(-\pi;-\arccos \dfrac{4}{9})\cup(\arccos \dfrac{4}{9};\pi-\arctg \dfrac{1}{3})$$

6. Чтобы получить полный ответ, учитываем периодичность (добавляем ко всем точкам $2\pi n$):

$$x\in(-\pi+2\pi n;-\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n)\cup(\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n;\pi-\arctg \dfrac{1}{3}+2\pi n)$$

[Munin]

gris
А в чём ошибаются?

Mihr в сообщении #1437077 писал(а):

Чтобы получить полный ответ, учитываем периодичность (добавляем ко всем точкам $2\pi n$):

$$x\in(-\pi+2\pi n;-\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n)\cup(\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n;\pi-\arctg \dfrac{1}{3}+2\pi n)$$

Это запись всё-таки неформальная. Правильнее было бы что-то типа

$$x\in\bigcup\limits_{n\in\mathbb{Z}}\Bigl(\quad(-\pi+2\pi n;-\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n)\cup(\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n;\pi-\arctg \dfrac{1}{3}+2\pi n)\quad\Bigr)$$

Впрочем, как рекомендуется такие ответы оформлять школьникам, я не в курсе.

[Cheloveck]

Алгебра Мордкович 10 класс профильный уровень,лучше я не находил и такой учебник многие рекомендуют.

angor6 в сообщении #1437006 писал(а):

А по какому учебнику Вы изучаете тригонометрию?

[Mihr]

Munin в сообщении #1437079 писал(а):

Правильнее было бы что-то типа

"По-школьному" будет

$$x\in(-\pi+2\pi n;-\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n)\cup(\arccos \dfrac{4}{9}+2\pi n;\pi-\arctg \dfrac{1}{3}+2\pi n), n\in\mathbb{Z}$$

Я просто не стал дописывать $n\in\mathbb{Z}$, полагая, что с этим ТС и сам справится

[Cheloveck]

Mihr,спасибо за пояснение,я заметил,что у меня ещё ошибка была в описании к теме,теперь я кажется понимаю,у функции косинуса и синуса периоды $2\pi$,поэтому мы возвращаемся в одну и ту же точку на окружности и решеним служит одна дуга,в случае тангенса или котангенса период в 2 раза меньше,поэтому до возвращение в ту же точку мы получаем ещё одну точку и тут будет уже две дуги,теперь вроде понятно как отмечать точки тангенса и котангенса без представления графика,если я в своих рассуждениях не прав,то поправьте.Далее у меня есть два вопроса,первое скорее уточнение.Вы записали $-\arctg(\frac{1}{3})$ тут уже воспользовались нечетностью функции арктангенса и почему вы перешли к тангенсу от котангенса ? А вот в чём действительно вопрос так это как видно в учебнике ещё проверяют в правильном ли порядке расположены точки на окружности,в данном случае из вашего рисунка 3 это точки $-\arctg(\frac{1}{3})$ и $-\arccos(\frac{4}{9})$.Они лежат в одной четверти и тут тоже сомневаюсь как они могли бы быть расположены.И вот чтобы это сделать нужно найти тангенс или косинус одного из углов,чтобы сравнить функции и по функциям и их аргументы,так ? Вот только получится квадрат и значения новой функции будет два,но как я понял при отображении на окружность решений неравенства тангенса/котангенса и синуса/косинуса сомнительная точка будет всего одна(которая находится в одной четверти с точкой от решения другого неравенства) и если я посмотрю на окружность ,то значения функции косинуса того же аргумента опираясь на $\tg(x)=-\frac{1}{3}$,будет одно и оно положительно потому что точка находится в 4 четверти,где косинус положителен,а тангенс отрицателен,так ? Далее вычисляя это значения косинуса я могу сравнить $-\cos(x)=\frac{4}{9}$ и новое значение косинуса,так как новое значение будет больше то в соотвествии с монотонностью аргумент новой тоже будет больше и поэтому точка $-\arctg(\frac{1}{3})$ лежит ближе к точке 0,так ?

[gris]

Munin, опытные школьники, конечно, делают правильно. а невнимательные ошибаются в записи графического ответа формулой. на графиках функций всё хорошо, а с окружностью не всегда. особенно при устных ответах.
$\sin x>-0.5$
рисуется окружность, размечается в формате $-\pi\to\pi$ проводится горизонтальная прямая, рисуется правильная дуга, а записывается как
$(-\pi/6+2\pi n,-5\pi/6+2\pi n)$. я просто заметил у ТС мелкую ошибочку и решил, что вдруг пригодится. бывают досадные мелочи.
впрочем, эту особенность уже обсудили в теме. но я ж не знал

[Mihr]

Cheloveck в сообщении #1437096 писал(а):

почему вы перешли к тангенсу от котангенса ?

Исключительно из соображений удобства: чтобы без проблем обозначить точку на окружности. Функция $\arctg x$ широко используется, а $\arcctg x$ практически не встречается. У меня даже складывается впечатление, что писать "арккотангенс чего-то" - чуть ли не дурной тон. Но если Вас устраивает арккотангенс - пишите. Я думаю, именно к этому никто из проверяющих придираться не имеет права.

Cheloveck в сообщении #1437096 писал(а):

в правильном ли порядке расположены точки на окружности

Вопрос законный, но я полагал, что ответ на него очевиден. И Вы ведь с ним справились.

Cheloveck в сообщении #1437096 писал(а):

Далее вычисляя это значения косинуса я могу сравнить $-\cos(x)=\frac{4}{9}$ и новое значение косинуса,так как новое значение будет больше то в соотвествии с монотонностью аргумент новой тоже будет больше и поэтому точка $-\arctg(\frac{1}{3})$ лежит ближе к точке 0,так ?

Так.

[angor6]

Cheloveck
Я предлагаю Вам воспользоваться книгой "Тригонометрия" И. М. Гельфанда, С. М. Львовского, А. Л. Тоома. В издании 2002 года решению тригонометрических неравенств посвящены страницы 155 -- 160.

[Cheloveck]

Mihr,т.к вы не заметили ничего неправильного в моих рассуждениях и дали ожидаемые мною ответы,то думаю,что я понял и думаю могу работать с тригонометрической окружностью лучше,хотя ещё нужен и опыт.Спасибо вам за ваши ответы и пояснение.А также если думать про котангенс,то в большинстве школьных учебников для него не выводят большинство формул,хотя это и можно сделать самому,в задачах тоже очень редко встречается.Как-то неприятно,что котангенс как будто есть,но в тоже время его и нету.

-- 27.01.2020, 17:52 --

angor6,спасибо за рекомендацию,вообщем-то у меня есть эта книжка,но я думал,что она не очень по сравнению с учебником,там более детально вроде,вообщем посмотрю.

[Munin]

gris в сообщении #1437099 писал(а):

рисуется правильная дуга, а записывается как $(-\pi/6+2\pi n,-5\pi/6+2\pi n)$.

А, понятно!

[arseniiv]

(Про школьное оформление ответа)

Не знаю как сейчас требуют оформлять, но помню, что хотя бы какое-то время у нас в школе говорили, что $x\in\ldots$ — это типа не ответ, а незаконченное решение, а надо писать просто множество без всяких переменных (что с одной стороны как будто правильно, а с другой нет, потому что если переменных несколько, на них на самом деле не задан никакой порядок, и предполагать алфавитный не всегда уместно). А вот что было с такими объединениями, не помню.

[Munin]

arseniiv

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1437164 писал(а):

какое-то время у нас в школе говорили, что $x\in\ldots$ — это типа не ответ, а незаконченное решение, а надо писать просто множество без всяких переменных

Выглядит, как локальный заскок. Множество надо как-то увязать с именами переменных, а запись $x\in S$ в этом смысле проста и однозначна. Кроме того, она вполне логично продолжает ответы более младших классов в виде системы неравенств.