Существование решения задачи минимизации

[Юстас]

Пусть $H\subset L_2(\mu)$, $\Lambda$ - множество плотностей на $H$ с конечной энтропией, т.е. $E(\lambda):=-\int_H \lambda(h)\ln \lambda(h) \mu(dh)<\infty$. Пусть $f_{*}\in L_2(\mu)$. Рассматриваем следующую задачу: $\|f_{*}-f_{\lambda}\|_2^2+\epsilon E(\lambda)\rightarrow \ \min $, где $f_{\lambda}(x)=\int\limits_{H} h(x)\lambda(h)\mu(dh)$-"смесь" с плотностью $\lambda$. Вопрос: когда можно гарантировать существование решения? Видимо, нужна выпуклость?

[zoo]

глупый наверное вопрос, а почему $f_\lambda$ зависит от $x$ вот можно пример какой-нибудь чтоб уяснить

[Юстас]

$f_{\lambda}$ - это функция от $x$, "смесь" функций из $H$ с плотностью $\lambda$, ее значение в точке равно в точности тому что я написал. Требуется аппроксимировать искомую функцию такой смесью, так чтобы энтропия плотности была не очень большой.
Я не знаю, нужно ли требовать от функионала(кроме выпуклости) что-нибудь вроде полунепрерывности снизу.

[zoo]

Юстас писал(а):

$f_{\lambda}$ - это функция от $x$, "смесь" функций из $H$ с плотностью $\lambda$, ее значение в точке равно в точности тому что я написал. Требуется аппроксимировать искомую функцию такой смесью, так чтобы энтропия плотности была не очень большой.
Я не знаю, нужно ли требовать от функионала(кроме выпуклости) что-нибудь вроде полунепрерывности снизу.

я так и не понял как устроены Ваши интегралы, но в русле Вашего вопроса имеется
следующая теорема:



Пусть банахово пространство $V$ рефлексивно
и непустое множество $U\subseteq V$ выпукло и замкнуто. Предположим, что
отображение $f:U\to \mathbb{R}$ выпукло и полунепрерывно снизу.
Тогда если у функции $f$ имеется ограниченная минимизирующая последовательность,
то она достигает минимума в
$U$.

Замечание. В случае неограниченного множества $U$ условие существования ограниченной минимизирующей последовательности может быть заменено на условие коэрцитивности
функции $f$:
$\lim_{\|x_k\|_V\to \infty}f(x_k)=+\infty$
где $\{x_k\}\subset U$-- произвольная последовательность.

[Профессор Снэйп]

А если $U = \varnothing$? Выпуклость и замкнутость есть, минимума, очевидно, нет.

Вероятно, какие-то условия на $U$ надо наложить. Что-то вроде неограниченности (раз уж идёт речь о пределе $f$ на неограниченной последовательности иксов)...

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

А если $U = \varnothing$? Выпуклость и замкнутость есть, минимума, очевидно, нет.

Вероятно, какие-то условия на $U$ надо наложить. Что-то вроде неограниченности (раз уж идёт речь о пределе $f$ на неограниченной последовательности иксов)...

ok я добавлю, что $U$ не пусто

[Юстас]

zoo писал(а):

я так и не понял как устроены Ваши интегралы, но в русле Вашего вопроса имеется
следующая теорема:



Пусть банахово пространство $V$ рефлексивно
и непустое множество $U\subseteq V$ выпукло и замкнуто. Предположим, что
отображение $f:U\to \mathbb{R}$ выпукло и полунепрерывно снизу.
Тогда если у функции $f$ имеется ограниченная минимизирующая последовательность,
то она достигает минимума в
$U$.

Видимо то, что нужно. Из какой книжки взято? Там, где я смотрел, все только для примитивного $\mathbb{R}^n$.
А интеграл устроен так: в дискретном случае $f_{\lambda}(x)=\sum \lambda_j h_j(x)$, в непрерывном же просто сумма заменяется интегралом.

[zoo]

Юстас писал(а):

zoo писал(а):

я так и не понял как устроены Ваши интегралы, но в русле Вашего вопроса имеется
следующая теорема:



Пусть банахово пространство $V$ рефлексивно
и непустое множество $U\subseteq V$ выпукло и замкнуто. Предположим, что
отображение $f:U\to \mathbb{R}$ выпукло и полунепрерывно снизу.
Тогда если у функции $f$ имеется ограниченная минимизирующая последовательность,
то она достигает минимума в
$U$.

Видимо то, что нужно. Из какой книжки взято? Там, где я смотрел, все только для примитивного $\mathbb{R}^n$.
А интеграл устроен так: в дискретном случае $f_{\lambda}(x)=\sum \lambda_j h_j(x)$, в непрерывном же просто сумма заменяется интегралом.

Взято из лекций Jean Mawhin Critical Point Theory and Applications to Nonlinear Differential Equations. Раньше эти лекции висели в интернете, сейчас, кажется, не висят.