Как найти предел интегрального синуса?

[andreyka]

Пытаюсь доказать, что

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$$

Разложил $\sin x$ по формуле Тейлора в ряд, разделил на $x$ и почленно проинтегрировал, получил разложение в ряд

$$\int\limits_{0}^{t}\frac{\sin x}{x}\,dx = t-\frac{t^3}{3\cdot 3!}+\frac{t^5}{5\cdot 5!}-\frac{t^7}{7\cdot 7!}+\cdots$$

Не знаю, как тут перейти к пределу $t\to+\infty$. Видимо, нужен другой подход?

[DeBill]

andreyka в сообщении #1436639 писал(а):

Видимо, нужен другой подход?

Да. Если бы удалось вычислить эту сумму - то и не было бы нужды вводить новую функцию - интегральный синус...
Интеграл считается методами матана - по теме "равномерная сходимость" фокусами типа интегрирование-дифференцирование по параметру. Посмотрите в задачнике Демидовича в этой теме: там эта задача есть, и есть подсказки.
Но гораздо проще - методами ТФКП - если это у Вас уже было.