Конечная декартова степень счетного множества счетное множ

[khasanov.sm]

Допустим $k=4$, тогда $\Delta = 1110$. Рассмотрим элемент декартовой степени $x = (1,1,1,1) $. Его натуральное представление $\tilde{x} = 1111$, в соответствие поставим ему $n = \tilde{x} - \Delta = 1 $. Возьму для примера еще другой $x = (31415,9265,3589,7932) $. Его натуральное представление $\tilde{x} = 31415926535897932 $, в соответствие поставим ему $n = \tilde{x} - \Delta = 31415926535897822 $

-- 23.01.2020, 13:52 --

[mihaild]

А что там будет с элементами $(10, 11, 5, 1111)$ и $(101, 1, 5, 1111)$?

[khasanov.sm]

mihaild в сообщении #1436547 писал(а):

А что там будет с элементами $(10, 11, 5, 1111)$ и $(101, 1, 5, 1111)$?

Ушёл думать

[khasanov.sm]

mihaild в сообщении #1436547 писал(а):

А что там будет с элементами $(10, 11, 5, 1111)$ и $(101, 1, 5, 1111)$?

Составлю последовательность элементов $x \in X^k$, для которых номер занят. Последовательность таких элементов не более чем счетна (тк я могу их пронумеровать). Поэтому объединение множества пронумерованных элементов $x \in X^k$ и выделенной последовательности тоже будет счетно, т.к. объединение счетных множеств счетно.

[mihaild]

khasanov.sm в сообщении #1436561 писал(а):

Последовательность таких элементов не более чем счетна (тк я могу их пронумеровать).

Кажется это утверждение ничем принципиально не отличается от доказываемого, так что если его считать известным, то дальше что-то делать излишне.

[khasanov.sm]

svv в сообщении #1436545 писал(а):

И, может, для простоты начать с $f: \mathbb N^2\to\mathbb N$ ?

Тем более, если задана биекция $f_2: \mathbb N^2\to\mathbb N$, то дальнейшее можно определить рекурсивно. Например, $f_3: \mathbb N^3\to\mathbb N$ можно задать формулой $f_3(a,b,c):=f_2(f_2(a,b),c)$.

Пожалуй начну.

Рассмотрим отображение $f: \mathbb X^2\to\mathbb N$, где $\mathbb X^2 = \left\lbrace (x_i, x_j)| x_i, x_j \in\mathbb{X} \right\rbrace$. Разобьем данное множество на группы $ G_i = \left\lbrace (x_i,x) | x_i, x \in\mathbb{X} \right\rbrace$ c одинаковым первым элементом. Для каждой такой группы можем определить биективное отображение $g: \mathbb G_i \to\mathbb X$, что доказывает счетность каждой такой группы. Количество различных $\mathbb G_i\mathbb$ тоже счетно, так как их ровно столько же, сколько элементов в $X$. Таким образом, $ X^2 $ есть объединение счетных множеств $ \Rightarrow X^2 $ - счетно

[ИСН]

Ну а откуда Вы знаете, что объединение счётных множеств - счётно? (Да и не всегда это так.)

[khasanov.sm]

ИСН в сообщении #1436565 писал(а):

Ну а откуда Вы знаете, что объединение счётных множеств - счётно? (Да и не всегда это так.)

Объединение двух счетных множеств - счетно. Значит и счетное объединение (наш случай) будет счетным.

[ИСН]

Объединение двух конечных множеств - конечно. Значит ли это, что и счетное их объединение будет конечным? Да? Нет? Почему?

[khasanov.sm]

ИСН в сообщении #1436568 писал(а):

Объединение двух конечных множеств - конечно. счетное их объединение будет конечным? Да? Нет? Почему?

Оно будет не более чем счетным

[ИСН]

Ну так-то оно так, но откуда...
Погодите, Вы как расцениваете тот факт, что не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств - не более чем счётно? Это аксиома? Или теорема, которую надо доказать? Или теорема, которую уже не надо доказывать, потому что Вы в курсе, как это делается?

[arseniiv]

khasanov.sm
Возможно, на вид одной из просто получаемых биекций вам намекнёт расположение элементов $\mathbb N^2$ (и зачем сразу брать произвольное $X^2$? к нему можно будет перейти потом, и тривиально) на плоскости как точек с соответствующими координатами. Как разрезать неограниченный торт на ограниченные куски?

[khasanov.sm]

ИСН в сообщении #1436576 писал(а):

Ну так-то оно так, но откуда...
Погодите, Вы как расцениваете тот факт, что не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств - не более чем счётно? Это аксиома? Или теорема, которую надо доказать? Или теорема, которую уже не надо доказывать, потому что Вы в курсе, как это делается?

Я знаю доказательство данной теоремы. От этого мое решение становится правильным?

[ИСН]

Тривиальным оно становится, по-моему. Вы сказали, что $\mathbb X^2$ есть счётное объединение счётных множеств. Ну да, так и есть.
А первоначально-то вопрос какой был?

[khasanov.sm]

ИСН в сообщении #1436597 писал(а):

Тривиальным оно становится, по-моему. Вы сказали, что $\mathbb X^2$ есть счётное объединение счётных множеств. Ну да, так и есть.
А первоначально-то вопрос какой был?

А дальше воспользуемся рекурсией, которую предложили выше.

svv в сообщении #1436545 писал(а):

И, может, для простоты начать с $f: \mathbb N^2\to\mathbb N$ ?

Тем более, если задана биекция $f_2: \mathbb N^2\to\mathbb N$, то дальнейшее можно определить рекурсивно. Например, $f_3: \mathbb N^3\to\mathbb N$ можно задать формулой $f_3(a,b,c):=f_2(f_2(a,b),c)$.