помогите разобраться в пределах

[bubu gaga]

Zuzia писал(а):

потому что нулей можно приписать сколько душе угодно

Это к сожалению не объясняет этого. Возмём 0.001. Найдём член последовательности который меньше 0.001.

$$ \frac{1}{n} < 0.001 \Rightarrow n > 1000 $$

Начиная с тысячного члена все остальные члены последовательности будут меньше 0.001. Начиная с какого $n$ члены последовательности будут меньше 0.00025?

[Zuzia]

начиная может с n>4000...

[bubu gaga]

Zuzia писал(а):

начиная может с n>4000...

Верно. Осталась самая малость. Если вместо 0.001 или 0.00025 взять любое сколь угодно малое положительное число $\epsilon$, то получится ли найти такое $N$ начиная с которого члены последовательности будут меньше $\epsilon$? Как выглядит формула для этого $N$?

[Zuzia]

такое N? я думаю можно найти, а формула может выглядит так: N=1\эпсилон (вроде так зовут перевернутую Э)[/math][/i]

[bubu gaga]

Zuzia писал(а):

такое N? я думаю можно найти, а формула может выглядит так: N=1\эпсилон (вроде так зовут перевернутую Э)[/math][/i]

Теперь следует определение. Число $a$ является пределом последовательности $a_n$, если для любого $\epsilon > 0$, можно найти такое $N$, что для всех членов последовательности $n > N$ верно:

$$ | a_n - a | < \epsilon $$

Теперь для того примера который мы рассмотрели: подумайте, чему равно $a$?

[Zuzia]

Допустим что эпсилон=0,001...тогда N=1000, n>1000, ээээ...а чему равно аn? что то до меня очень туго доходит

[bubu gaga]

Zuzia писал(а):

Допустим что эпсилон=0,001...тогда N=1000, n>1000, ээээ...а чему равно аn? что то до меня очень туго доходит

$a_n$ - это обозначение для $n$-го члена последовательности. Выпишите чему равны $a_1$, $a_{33}$ и $a_{N}$ в нашем примере.

[Дмитрий Келлерман]

2 bubu gaga: РИСПЕКТ!!!!

[Zuzia]

а1=1, а33=1\33, аN=1\N, так???

[bubu gaga]

Zuzia писал(а):

а1=1, а33=1\33, аN=1\N, так???

Верно! Давайте для простоты перепишем определение последовательности для нашей $a_n = 1 / n$

Число $a$ является пределом последовательности $a_n = 1 / n$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $N$, что для всех $n > N$ верно

расстояние между $\frac{1}{n}$ и $a$ меньше $\epsilon$


Может ли число $a$ быть равным 2? Или -1? 0.5? И объясните почему не может.

[Zuzia]

Если n>N, то аn<эпсилон? а значит какое бы а ни прибавить или ни отнять результат l an - a l будет больше эпсилон, а значит аn=а?

[bubu gaga]

Ну во-первых формула не читается вообще, а во-вторых это неверно.

Вот Вам эксперимент, проведите его, подумайте хорошенько, а потом перечитайте всю эту ветку заново.

Итак. Возьмите клетчатую бумагу. Отложите отрезок $[0; 1]$ шириной в 10 клеток. Отмечайте на нём последовательно члены последовательности $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Продолжайте пока не заметите что рисуете точки друг на друге и точки перестают быть отличимыми. Заметьте с какого $n$ это произошло.

Отложите снова отрезок $[0, 1]$ на этот раз шириной 20 клеточек. Повторите экперимент. Дождитесь когда опять точки накопятся сверх предела. Заметьте с какого $n$ это произошло.

Подумайте, есть ли такой лист бумаги, чтобы уместить все точки последовательности, так чтобы все точки были различимы?

Подумайте вокруг какой точки на отрезке $[0; 1]$ плотность точек самая высокая? Эта точка (если единственная) называется пределом последовательности

P.S. Строгое определение предела есть описание такого процесса накапливания. Вокруг точки $a$ накапливаются члены последовательности.

[Zuzia]

Спасибо!!! Все сделаю как вы сказали, и подумаю ХОРОШЕНЬКО!!!!)))