2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8344
Цюрих

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #1436056 писал(а):
Поэтому вопрошаемое ТСом доказательство является (среди всего прочего) необходимым требованием на пути, который нужно пройти, чтобы показать, что B является примером A.
Есть же определение вещественных чисел как упорядоченного полного архимедова поля или как почти гомоморфизмов $\mathbb Z$ - тут абелевость сразу в определении. Правда доказывать что скажем какие-нибудь сечения задают множество вещественных чисел всё равно придется.
Varvara1210, тут есть важный момент: нельзя что-то объяснить "вообще в теории", нужно указывать, какая у нас конкретно есть теория - т.е. с чего мы можем начать для вывода. И это важно, потому что если начнем не с того, то можем и вообще не получить нужное нам свойство (бывают структуры, чем-то похожие на числа, но в которых утверждение $ab = ba$ просто неверно).
Для натуральных чисел есть стандартный набор аксиом, называющийся арифметика Пеано. В ней это утверждение доказывается по индукции (вы с этим методом уже знакомы?).
Дальнейшие структуры - целые числа, рациональные, вещественные, комплексные - обычно так или иначе строятся на основе натуральных, и заимствуют коммутативность умножения в конце концов из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
B@R5uk в сообщении #1436056 писал(а):
Обычно сначала вводят определение математического объекта (A: Абелевой группы), а потом
...начинают думать, зачем это сделали?

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 20:37 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Утундрий, те студенты, которые добросовестно читают учебники от начала до конца (а не с конца к началу) именно таким вопросом обычно в процессе и задаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение20.01.2020, 21:00 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Коллеги, давайте все-таки учитывать, что в этой теме обсуждается вопрос школьника, причем не старшего класса. Поэтому абелевы группы, матрицы Паули и т.п. лучше приберечь для другого раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: При перемене мест множителей произведение не меняется
Сообщение21.01.2020, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Учитывая возраст топикстартера, я бы отвечал так:
Многие понятия математики возникали "экспериментально", из практической жизни, и их свойства устанавливались "экспериментом". Скажем (реальным или воображаемым) подсчётом числа квадратиков в прямоугольнике установили, что "при перемене порядка сомножителей произведение не меняется". Но с развитием математики стали рассматриваться объекты, отличные от чисел, и операции на них, в каком-то смысле близкие к сложению и умножению (например, в частном случае эти объекты совпадают с числами, и введённые в частном случае операции есть сложение и умножение, поэтому так именуются и в общем случае). Но оказалось, что многие свойства, установленные для чисел, для более сложных объектов не выполняются. Например, для матриц (тут нужен небольшой экскурс, что такое матрица и зачем) результат умножения зависит от порядка сомножителей, и даже возможно, что умножить A на B можно, а B на A нет. И тогда возникла потребность в доказательстве свойств и таких давно известных объектов, как целые числа. В том числе и коммутативности умножения. Такое доказательство должно опираться на какие-то факты, принимаемые без доказательства, как аксиомы. Если мы хотим, чтобы описываемые нами объекты описывали реальный мир, в качестве аксиом берутся проверяемые утверждения реального мира. Причём можно выбирать разные системы аксиом, тогда утверждения, являющиеся аксиомами в одной системе, но не являющиеся ими в другой, должны доказываться в этой другой системе. И наоборот. Одна из возможных систем для целых чисел - аксиомы Пеано
Цитата:
1 является натуральным числом;
Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Первые четыре выглядят достаточно очевидными, чтобы мы с ними согласились. Пятая аксиома нужна для того, чтобы мы могли провести доказательство для всех чисел. С его помощью, когда мы уверены, что наше утверждение для какого-то числа верно, мы получаем, что оно верно и для следующего, и для следующего за ним и так далее, для любого сколь угодно большого числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group