При перемене мест множителей произведение не меняется

[mihaild]

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #1436056 писал(а):

Поэтому вопрошаемое ТСом доказательство является (среди всего прочего) необходимым требованием на пути, который нужно пройти, чтобы показать, что B является примером A.

Есть же определение вещественных чисел как упорядоченного полного архимедова поля или как почти гомоморфизмов $\mathbb Z$ - тут абелевость сразу в определении. Правда доказывать что скажем какие-нибудь сечения задают множество вещественных чисел всё равно придется.

Varvara1210, тут есть важный момент: нельзя что-то объяснить "вообще в теории", нужно указывать, какая у нас конкретно есть теория - т.е. с чего мы можем начать для вывода. И это важно, потому что если начнем не с того, то можем и вообще не получить нужное нам свойство (бывают структуры, чем-то похожие на числа, но в которых утверждение $ab = ba$ просто неверно).
Для натуральных чисел есть стандартный набор аксиом, называющийся арифметика Пеано. В ней это утверждение доказывается по индукции (вы с этим методом уже знакомы?).
Дальнейшие структуры - целые числа, рациональные, вещественные, комплексные - обычно так или иначе строятся на основе натуральных, и заимствуют коммутативность умножения в конце концов из них.

[Утундрий]

B@R5uk в сообщении #1436056 писал(а):

Обычно сначала вводят определение математического объекта (A: Абелевой группы), а потом

...начинают думать, зачем это сделали?

[B@R5uk]

Утундрий, те студенты, которые добросовестно читают учебники от начала до конца (а не с конца к началу) именно таким вопросом обычно в процессе и задаются.

[Pphantom]

Коллеги, давайте все-таки учитывать, что в этой теме обсуждается вопрос школьника, причем не старшего класса. Поэтому абелевы группы, матрицы Паули и т.п. лучше приберечь для другого раза.

[Евгений Машеров]

Учитывая возраст топикстартера, я бы отвечал так:
Многие понятия математики возникали "экспериментально", из практической жизни, и их свойства устанавливались "экспериментом". Скажем (реальным или воображаемым) подсчётом числа квадратиков в прямоугольнике установили, что "при перемене порядка сомножителей произведение не меняется". Но с развитием математики стали рассматриваться объекты, отличные от чисел, и операции на них, в каком-то смысле близкие к сложению и умножению (например, в частном случае эти объекты совпадают с числами, и введённые в частном случае операции есть сложение и умножение, поэтому так именуются и в общем случае). Но оказалось, что многие свойства, установленные для чисел, для более сложных объектов не выполняются. Например, для матриц (тут нужен небольшой экскурс, что такое матрица и зачем) результат умножения зависит от порядка сомножителей, и даже возможно, что умножить A на B можно, а B на A нет. И тогда возникла потребность в доказательстве свойств и таких давно известных объектов, как целые числа. В том числе и коммутативности умножения. Такое доказательство должно опираться на какие-то факты, принимаемые без доказательства, как аксиомы. Если мы хотим, чтобы описываемые нами объекты описывали реальный мир, в качестве аксиом берутся проверяемые утверждения реального мира. Причём можно выбирать разные системы аксиом, тогда утверждения, являющиеся аксиомами в одной системе, но не являющиеся ими в другой, должны доказываться в этой другой системе. И наоборот. Одна из возможных систем для целых чисел - аксиомы Пеано

Цитата:

1 является натуральным числом;
Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Первые четыре выглядят достаточно очевидными, чтобы мы с ними согласились. Пятая аксиома нужна для того, чтобы мы могли провести доказательство для всех чисел. С его помощью, когда мы уверены, что наше утверждение для какого-то числа верно, мы получаем, что оно верно и для следующего, и для следующего за ним и так далее, для любого сколь угодно большого числа.