Энергия векторного поля.

[fantazer]

Прошу помочь с таким вопросом:
Пусть существует на плоскости в упругом материале
вектор растяжения/сжатия (соответственно положительный/отрицательный) Q = {Qx,Qy}.
Материал имеет инерцию,и скорость распространения взаимодействий v.
Действие определяется формулой: вторая производная по времени
d2Qx/dt2 = Axx * d2Qx/dx2 + Axy * d2Qx/dy2 + Ayx * d2Qy/dx2 + Ayy * d2Qy/dy2
и соответственно
d2Qy/dt2 = Ayy * d2Qx/dx2 + Ayx * d2Qx/dy2 + Axy * d2Qy/dx2 + Axx * d2Qy/dy2
где Aij некоторые коэффициенты.
Как будет выражаться плотность кинетической и потенциальной энергий такого поля?
Предположительно кинетическая Wk = (dQx/dt)^2 + (dQy/dt)^2,
потенциальная Wp = Pxx * (dQx/dx)^2 + Pxy * (dQx/dy)^2 + Pyx * (dQy/dx)^2 + Pyy * (dQy/dy)^2,
где Pij некоторые коэффициенты.
Интеграл суммы обеих плотностей по всему пространству сохраняется постоянным.
Интересует подробное обоснование,с использованием конечно малых элементов.
В частности как зависят Pij от Aij.В одномерном случае все намного проще,
фактически скаляр а не вектор,и хорошо освещено в литературе,
а в двух- (или трех-) мерном случае возникают затруднения.

[timn]

Доброго времени суток!
По идее, если дано уравнение движение в виде

$$ \rho \frac{{\partial ^2 u_i }} {{\partial t^2 }} = \sum\limits_k {\frac{{\partial \sigma _{ik} }} {{\partial x_k }}} $$

то энергия тела есть что то вроде (если не ошибаюсь )

$$ E = \int\limits_{}^{} {dt\iiint\limits_{} {dV \cdot \left[ {\sum\limits_{i,k = 1}^3 {\frac{{\sigma _{ik} u_{ik} }} {2}} + \frac{\rho } {2}\left( {\frac{{\partial \vec u}} {{\partial t}}} \right)^2 } \right]}} - \int\limits_{}^{} {dt\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{} {dS \cdot \vec p \cdot \vec u} } $$

где поверхностный интеграл представляет собой работу внешних сил, приложеных к поверхности.


а вообще, общий рецепт такой: домножаете уравнения скалярно на вектор смещения и интегритуете по времени и площади, стараясь везде, где можно интегрировать по частям.

Добавлено спустя 29 минут 37 секунд:

Например в скалярном случае для уравнения

$$ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = A_{xx} \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} + A_{xy} \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x\partial y}} + A_{yy} \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial y^2 }} $$

имеем

$$ \int\limits_{}^{} {dt\iint\limits_{} {dxdy \cdot u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}}} = \int\limits_{}^{} {dt\iint\limits_{} {dxdy\left( {A_{xx} u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} + A_{xy} u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x\partial y}} + A_{yy} u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial y^2 }}} \right)}} $$

тут

$$ u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = \frac{\partial } {{\partial t}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right) - \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)^2 $$

и тогда

$$ \int\limits_{}^{} {dt\iint\limits_{} {dxdy \cdot u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}}} = \left[ {\iint\limits_{} {dxdy \cdot \frac{\partial } {{\partial t}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)}} \right]_{t = t\_end} - \left[ {\iint\limits_{} {dxdy \cdot \frac{\partial } {{\partial t}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)}} \right]_{t = t\_start} - \int\limits_{}^{} {dt\iint\limits_{} {dxdy \cdot \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)^2 }} $$

причем первые 2 слагаемых определяются начальными условиями, а третье и дает плотность кинетической энергии.
В целом, интегрируя по частям у Вас должно выйти

\[ \frac{\partial } {{\partial t}}(...) = ..... \]

и те нитегралы, которые окажутся под полной производной по времени и будут давать энергию системы (суммарную).


С координатами - аналогично (я опускаю для краткости значек интеграла по времени):

$$ \eqalign{ & U = \int\limits_{}^{} {\int\limits_{}^{} {\left( {A_{xx} u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} + A_{xy} u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x\partial y}} + A_{yy} u\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial y^2 }}} \right)} } dxdy = \int\limits_{}^{} {\int\limits_{}^{} {\left( {A_{xx} \frac{\partial } {{\partial x}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right) - A_{xx} \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right)^2 + \frac{{A_{xy} }} {2}\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial y}}} \right) - \frac{{A_{xy} }} {2}\frac{{\partial u}} {{\partial x}}\frac{{\partial u}} {{\partial y}} + \frac{{A_{xy} }} {2}\frac{\partial } {{\partial y}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right) - \frac{{A_{xy} }} {2}\frac{{\partial u}} {{\partial y}}\frac{{\partial u}} {{\partial x}} + A_{yy} \frac{\partial } {{\partial y}}\left( {u\frac{{\partial u}} {{\partial y}}} \right) - A_{yy} \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial y}}} \right)^2 } \right)} } dxdy = \cr & = \int\limits_{}^{} {dy} \left( {A_{xx} u\frac{{\partial u}} {{\partial x}} + \frac{{A_{xy} }} {2}u\frac{{\partial u}} {{\partial y}}} \right)_{x\_low}^{x\_high} + \int\limits_{}^{} {dx\left( {A_{yy} u\frac{{\partial u}} {{\partial y}} + \frac{{A_{xy} }} {2}u\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right)} _{y\_low}^{y\_high} - \int\limits_{}^{} {\int\limits_{}^{} {\left( {A_{xx} \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right)^2 + A_{xy} \frac{{\partial u}} {{\partial x}}\frac{{\partial u}} {{\partial y}} + A_{yy} \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial y}}} \right)^2 } \right)dxdy} } \cr} $$

[fantazer]

Огромное спасибо,timn.
Иду хорошенько проанализировать ваш пост.

[timn]

fantazer писал(а):

Огромное спасибо,timn.
Иду хорошенько проанализировать ваш пост.

только я чуть ошибся домножать нужно не на вектор смещения, а на его производную по времени. вот пример с волновым уравнением

$$ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = \operatorname{div} \left( {\vec \nabla u} \right) $$

(пусть даны также однородные граничные условия, например,

$$ \frac{{\partial u}} {{\partial n}} = 0 $$

на границе области V)

$$ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}\frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \operatorname{div} \left( {\vec \nabla u} \right)\frac{{\partial u}} {{\partial t}} $$

$$ \frac{\partial } {{\partial t}}\left( {\frac{1} {2}\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)^2 } \right) = \operatorname{div} \left( {\vec \nabla u\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right) - \vec \nabla u \cdot \vec \nabla \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right) $$

$$ \frac{\partial } {{\partial t}}\left( {\frac{1} {2}\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)^2 + \frac{1} {2}\left( {\vec \nabla u} \right)^2 } \right) = \operatorname{div} \left( {\vec \nabla u\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right) $$

интегрируем теперь по координате

$$ \frac{\partial } {{\partial t}}\iiint\limits_V {\left( {\frac{1} {2}\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)^2 + \frac{1} {2}\left( {\vec \nabla u} \right)^2 } \right)dV} = \iiint\limits_V {\operatorname{div} \left( {\vec \nabla u\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)dV} = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc} {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}\vec \nabla u \cdot \vec n \cdot dS} = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc} {\frac{{\partial u}} {{\partial t}} \cdot \frac{{\partial u}} {{\partial n}} \cdot dS} $$

(где применена теорема Гаусса - "интегрирование по частям")
Всилу упомянутого однородного граничного условия поверхностный интеграл исчезает и мы получаем закон сохранения энергии:

$$\frac{{\partial E}} {{\partial t}} = 0 $$

, где

$$ E = \iiint\limits_V {\left( {\frac{1} {2}\left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right)^2 + \frac{1} {2}\left( {\vec \nabla u} \right)^2 } \right)dV} $$

[fantazer]

По поводу первого поста timn:
В самом обобщенном случае пожалуй выкладки верны.
Но для приведенного мной случая хочу сделать дополнения:
В выражении для потенциальной энергии не должно быть смешанных производных
вида du/dx * du/dy,иначе знак энергии будет разным при градиенте основного вектора
в противоположных направлениях,а энергия поля всегда положительная.
Также там не может входить как множитель основной вектор,иначе при растяжении получится
энергия положительная,при сжатии отрицательная,что противоречит физическому смыслу.
Также если все пространство равномерно растянуто/сжато,эта энергия будет незаметна
и никогда не высвободится без внешних возмущений.
По-моему там только квадраты первых производных,
и коэффициенты Pij только положительные.Тогда каждой силе d2Qi/dj2
будет соответствовать одна потенциальная энергия (dQi/dj)^2.
В уравнении движения тоже большинство коэффициентов положительны,
чтобы увеличение кинетической энергии соответствовало уменьшению
потенциальной,сила работает на "сглаживание" градиента основного вектора.
А скорость (кинетическая энергия) по инерции работает потом на увеличение градиента.
Отрицательные Aij могут быть лишь при разных координатах вектора,
например d2Qx/dt2 пропорционально (-1) * d2Qy/dy2.
И это самый малопонятный случай связности измерений.Также непонятно как считать
потенциальную энергию при разных значениях Axx и Ayy.
Может sqrt(Axx^2 + Ayy^2)? Сила d2Qx/dx2 уменьшает потенциальную энергию (dQx/dx)^2,
но увеличивает с разными коэффициентами две кинетических: (dQx/dt)^2 и (dQy/dt)^2.

[timn]

fantazer писал(а):

По поводу первого поста timn:
В самом обобщенном случае пожалуй выкладки верны.
Но для приведенного мной случая хочу сделать дополнения:
В выражении для потенциальной энергии не должно быть смешанных производных
вида du/dx * du/dy,иначе знак энергии будет разным при градиенте основного вектора
в противоположных направлениях,а энергия поля всегда положительная.
.........

Так или иначе, если мы с Вами говорим о теории упругости, то энергия деформированного тела есть

$$ E = \int\limits_{}^{} {dt\iiint\limits_{} {dV \cdot \left[ {\sum\limits_{i,k = 1}^3 {\frac{{\sigma _{ik} u_{ik} }} {2}} + \frac{\rho } {2}\left( {\frac{{\partial \vec u}} {{\partial t}}} \right)^2 } \right]}} $$

При справедливости закона Гука можно показать, что эта величина всегда не отрицательна.


И еще: пожалуйста, уточните свой вопрос:
вы привел иуравнение

Цитата:

d2Qx/dt2 = Axx * d2Qx/dx2 + Axy * d2Qx/dy2 + Ayx * d2Qy/dx2 + Ayy * d2Qy/dy2

,
равносильно ли оно уравнению Ляме вида

$$ \rho \frac{{\partial ^2 \vec u}} {{\partial t^2 }} = G \cdot \Delta \vec u + (K + G/3) \cdot \vec \nabla \operatorname{div} \vec u + \vec f $$

?

[ae]

timn в сообщении #142910 писал(а):

то энергия тела есть что то вроде (если не ошибаюсь )
... \sigma_{ik} u_{ik} ...

А что такое u_{ik}, если u_i - перемещение?

Добавлено спустя 5 минут 18 секунд:

fantazer в сообщении #142809 писал(а):

Пусть существует на плоскости в упругом материале
вектор растяжения/сжатия

А это что за зверь, как он определяется-то?

Добавлено спустя 21 минуту 37 секунд:

Off: Никак не пойму как здесь теги math работают... \frac{1}{2}

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

Кажется разобрался, оказывается надо ему немного долларов дать, тогда все будет в порядке.

В общем-то timn все правильно написал. Если же не углубляться в подробности, то кинетическая энергия единицы объема упругой среды равна

$$W= \frac{1}{2} \rho \frac{\partial u_i}{\partial t} \cdot \frac{\partial u_i}{\partial t} $$

(здесь полная аналогия с кинетической энергией материальной точки),
а потенциальная энергия:

$$U= \frac{1}{2} \left( \sigma_{ij}\cdot \epsilon_{ij} \right) $$

(т.е. грубо половина силы умноженной на "удлиннение", опять же в полной аналогии с материальной точкой, подвешенной на пружинке)

[fantazer]

timn писал(а):

И еще: пожалуйста, уточните свой вопрос:
вы привел иуравнение

Цитата:

d2Qx/dt2 = Axx * d2Qx/dx2 + Axy * d2Qx/dy2 + Ayx * d2Qy/dx2 + Ayy * d2Qy/dy2

,
равносильно ли оно уравнению Ляме вида

$$ \rho \frac{{\partial ^2 \vec u}} {{\partial t^2 }} = G \cdot \Delta \vec u + (K + G/3) \cdot \vec \nabla \operatorname{div} \vec u + \vec f $$

Я не профессионал,поэтому быстро не найду что такое уравнение Ляме.
Но по самому приведенному Вами уравнению вижу что это разные вещи,
там намного больше членов если расписать подробней дельту и наблу с дивергенцией.

PS: Тут говорят надо действовать от тензора инерции материала.

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

ae писал(а):

А это что за зверь, как он определяется-то?

Растяжение/сжатие выражается вектором,
который в случае растяжения положительный,сжатия - отрицательный.

[fantazer]

Уравнение Ляме я нашел в седьмом томе курса фейнмановских лекций,
по сплошным средам.Там же есть более подробные рассуждения
как получаются тензоры.Но напряжение и смещение в материале
рассматривают отдельно,в результате для трехмерного случая получают 81 коэффициент.
По крайней мере стало понятно что Axx = Ayy и Axy = Ayx (симметричность тензора).

[Zai]

fantazer писал(а):

Пусть существует на плоскости в упругом материале вектор растяжения/сжатия (соответственно положительный/отрицательный) Q = {Qx,Qy}.

В деформируемом теле определяется тензор деформаций. В плоском случае у него три компоненты тензора напряжений, а не две в векторе. Данное Вами определение растяжения не соответствует общепринятому.

[timn]

fantazer писал(а):

Уравнение Ляме я нашел в седьмом томе курса фейнмановских лекций,
по сплошным средам.Там же есть более подробные рассуждения
как получаются тензоры.Но напряжение и смещение в материале
рассматривают отдельно,в результате для трехмерного случая получают 81 коэффициент.
По крайней мере стало понятно что Axx = Ayy и Axy = Ayx (симметричность тензора).

ИМХО, имеет смысл заглянуть еще в 7-й том Ландау-Лифшица.

Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды:

ae писал(а):

timn в сообщении #142910 писал(а):

то энергия тела есть что то вроде (если не ошибаюсь )
... \sigma_{ik} u_{ik} ...

А что такое u_{ik}, если u_i - перемещение?

\[ u_{ik} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial u_i }}{{\partial x_k }} + \frac{{\partial u_k }}{{\partial x_i }}} \right) \]

[Zai]

timn писал(а):

\[ u_{ik} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial u_i }}{{\partial x_k }} + \frac{{\partial u_k }}{{\partial x_i }}} \right) \]

Тензор деформацй

\[ \epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial u_i }}{{\partial x_k }} + \frac{{\partial u_k }}{{\partial x_i }}} \right) \]