Семейство подмножеств и база топологии

[_DimONN_]

Есть множество $X = \mathbb{R}$. Есть подмножество множества $ X : \beta = \{ (-\infty,q)|q\in\mathbb{Q} \}$. Вопрос: является ли семейство подмножеств $\beta$ базой некоторой топологии на $X$.

Правильно ли пользоваться теоремой об окрестности точки:
Семейство множеств $\beta$ является базой тогда и только тоггда, когда для любой точки $ \ x \in X $ и каждой ее окресности $\mathrm{U}$ cуществует такое множество $V \in \beta$, что $x \in V \subset U $.

[Otta]

_DimONN_
В таких случаях надо пользоваться определением.

[Connector]

Странная формулировка теоремы. Можно утверждать, что семейство множеств является базой заданной топологии $\Omega$ (об этом и идёт речь в известной теореме), и тогда окрестности точки $x \in X$ суть открытые множества топологии $\Omega$, содержащие $x$; или же что семейство множеств есть база некоторой топологии (для этого есть отдельная теорема ).

[_DimONN_]

Otta в сообщении #1435901 писал(а):

В таких случаях надо пользоваться определением.

При объединении двух и более множеств из семейства $\beta$ мы получим семейство множеств $\{(-\infty,q_1),(-\infty,q_2),...(-\infty,q_n)|q\in\mathbb{Q},n\in\mathbb{N}\}$. Эти множества являются открытыми. По определению мы должны получить каждое открытое множество из $X$. То есть осталось получить множество $X$, которое $\mathbb{R}$? Но мы же его вроде бы не получим? И как получить $\varnothing$?

[Connector]

(Оффтоп)

_DimONN_ в сообщении #1436045 писал(а):

По определению мы должны получить каждое открытое множество из $X$.

Мне известно и другое определение, согласно которому мы должны получить каждое непустое открытое подмножество $X$.

_DimONN_ в сообщении #1436045 писал(а):

При объединении двух и более множеств из семейства $\beta$ мы получим семейство множеств $\{(-\infty,q_1),(-\infty,q_2),...(-\infty,q_n)|q\in\mathbb{Q},n\in\mathbb{N}\}$.

А мы можем взять объединение бесконечной совокупности множеств из семейства $\beta$ ?

[alcoholist]

_DimONN_ в сообщении #1436045 писал(а):

При объединении двух и более множеств

Объединение множеств -- это множество, а не какая-то там совокупность.

_DimONN_ в сообщении #1436045 писал(а):

как получить $\varnothing$?

$\bigcup\limits_{q\in\varnothing}(-\infty;q)$... но это для баз не важно, не забивайте голову пустыми проблемами. Ведь интервалы прекрасно образуют базу канонической топологии прямой.

_DimONN_ в сообщении #1436045 писал(а):

Но мы же его вроде бы не получим?

с этим тезисом многие бы поспорили)) Думайте по аналогии с "интервалы прекрасно образуют базу канонической топологии прямой"

[_DimONN_]

Два варианта понятны:

1) $q \in \varnothing$ $\Rightarrow$ $\bigcup\limits_{q \in \varnothing}^{}(-\infty,q)=\varnothing$;
2) $q \in \mathbb{Q}$ и количество подмножеств бесконечно $\Rightarrow$ топология $\tau$ будет представлять из себя всю числовую прямую, то есть $X$;

Остается рассмотреть если количество подмножеств $\beta$ конечно? Или когда мы говорим о семействе, то подразумеваем все возможные значения $q$ и это всегда бесконечное количество подмножеств $\beta$ ?

[_DimONN_]

Последнее сформулирую как:
3) $\bigcup\limits_{n=1}^{M\in\mathbb{N}}(-\infty,q_n)=\{(-\infty,q_1),...(-\infty,q_k)\}$.

Из пунктов 1)-3) топология $ \tau=\{\varnothing,\mathbb{R},(-\infty,q_1),...(-\infty,q_k) \} $, то есть семейство подмножест $\beta$ является базой топологии $\tau$.

[Someone]

_DimONN_ в сообщении #1436198 писал(а):

2) $q \in \mathbb{Q}$ и количество подмножеств бесконечно $\Rightarrow$ топология $\tau$ будет представлять из себя всю числовую прямую, то есть $X$;

Эта фраза представляет "из себя" бессмысленный набор слов. Если Вы хотели сказать, что объединение всех элементов базы совпадает с каким-то конкретным множеством, то это и следовало написать. И мне не ясна необходимость вместо $\mathbb R$ вводить ещё и букву $X$.

[_DimONN_]

Someone в сообщении #1436304 писал(а):

_DimONN_ в сообщении #1436198 писал(а):

2) $q \in \mathbb{Q}$ и количество подмножеств бесконечно $\Rightarrow$ топология $\tau$ будет представлять из себя всю числовую прямую, то есть $X$;

Эта фраза представляет "из себя" бессмысленный набор слов. Если Вы хотели сказать, что объединение всех элементов базы совпадает с каким-то конкретным множеством, то это и следовало написать. И мне не ясна необходимость вместо $\mathbb R$ вводить ещё и букву $X$.

Вот так будет правильно написать:$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}^{} \{(-$\infty,q_n)|q_n\in\mathbb{Q}\}=\mathbb{R} \, $?$

[Someone]

_DimONN_ в сообщении #1436198 писал(а):

1) $q \in \varnothing$ $\Rightarrow$ $\bigcup\limits_{q \in \varnothing}^{}(-\infty,q)=\varnothing$;

Поскольку высказывание $q\in\varnothing$ ложно, то ваша импликация всегда истинна. Вы что хотели этим сказать?

_DimONN_ в сообщении #1436277 писал(а):

3) $\bigcup\limits_{n=1}^{M\in\mathbb{N}}(-\infty,q_n)=\{(-\infty,q_1),...(-\infty,q_k)\}$.

Вам уже написали, что объединение множеств — это множество, а не совокупность множеств, но Вы снова пишете нечто странное. У меня такое впечатление, что все от Вас отступились.

Извините, а Вы определение базы топологии можете сформулировать?

[_DimONN_]

База топологии это такое семейство $\alpha$ открытых в $X$ множеств, что каждое открытое в $X$ множество является объединением некоторой совокупности множеств из $\alpha$.

В пункте 3) я подразумевал, что объединение(все возможные варианты объединений) конечного количества подмножеств $\beta$ дадут множество подмножеств такого же типа как $\beta$. А как правильно это записать в формуле? Или это формулируется предложением?

[Someone]

_DimONN_ в сообщении #1436323 писал(а):

База топологии это такое семейство $\alpha$ открытых в $X$ множеств, что каждое открытое в $X$ множество является объединением некоторой совокупности множеств из $\alpha$.

Это правильно.

_DimONN_ в сообщении #1436323 писал(а):

В пункте 3) я подразумевал, что объединение(все возможные варианты объединений) конечного количества подмножеств $\beta$ дадут множество подмножеств такого же типа как $\beta$.

_DimONN_ в сообщении #1436277 писал(а):

3) $\bigcup\limits_{n=1}^{M\in\mathbb{N}}(-\infty,q_n)=\{(-\infty,q_1),...(-\infty,q_k)\}$.

Я не вижу здесь "всех возможных вариантов объединения". В левой части стоит нечто похожее на объединение подмножеств множества $\mathbb R$ (меня смущает запись $M\in\mathbb N$ вместо просто $M$; где-то рядом должно быть написано, что $M\in\mathbb N$ или сказано то же самое словами). Известно, что объединение подмножеств $\mathbb R$ тоже является подмножеством $\mathbb R$, но в правой части вместо этого написано какое-то семейство интервалов. Между тем, здесь объединение явно вычисляется. Попробуйте представить себе геометрически объединяемые множества и их объединение. А также рассмотрите и объединения бесконечных подсемейств семейства $\beta$.

_DimONN_ в сообщении #1435898 писал(а):

Есть множество $X = \mathbb{R}$. Есть подмножество множества $ X : \beta = \{ (-\infty,q)|q\in\mathbb{Q} \}$. Вопрос: является ли семейство подмножеств $\beta$ базой некоторой топологии на $X$.

Слово "некоторой", видимо, надо интерпретировать так, что эта топология не обязана совпадать со стандартной топологией множества действительных чисел.
Кстати, почему ваше семейство $\beta$ не является базой стандартной топологии $\mathbb R$?

Для решения вашей задачи есть удобный критерий того, что произвольное заданное семейство подмножеств некоторого множества $X$ является базой какой-нибудь топологии на этом множестве. Если этого критерия Вы не изучали, то в данном случае можно легко описать все множества, принадлежащие искомой топологии, и убедиться, что семейство $\beta$ является базой этой топологии.

[_DimONN_]

Спасибо, есть решение полное, изложу здесь. Только сессию закончу. Всем большое спасибо!