Ограниченная функция

[mihaild]

Да, запутался я в ваших обозначениях.
В общем разобрались, что для константой положительной функции $s = S > 0$ и $M = S \cdot (b - a)$.
А еще что если $f \leqslant g$, то $M_f \leqslant M_g$. Соответственно можно оценить $M$ через $S$ и $b - a$ понятно как, и улучшить эту оценку нельзя. А отсюда, зная $m$, уже получим и оценку на $M - m$.

[grizzly]

oleg.k в сообщении #1435348 писал(а):

Если так, то простите, не знаю.

Хорошо, давайте попытаемся двигаться не так быстро. В случае, когда $f=y_0>0$ мы установили, что $l_m=S(b-a)=s(b-a)$. Теперь $f\ge 0$. Попытайтесь ответить на следующие вопросы:
1) Может ли $l_m$ быть больше $S(b-a)$?
2) Может ли $l_m$ быть меньше $s(b-a)$?
3) Можно ли улучшить эти оценки?

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1435367 писал(а):

Соответственно можно оценить $M$ через $S$ и $b - a$ понятно как, и улучшить эту оценку нельзя.

Ну это уж совсем банальщина. Очевидно, что $0 \in [m, M]$, $\int\limits_{a}^{b}f \in [m, M]$, поэтому $M - m \geqslant |\int\limits_{a}^{b}f |$ Учитывая, что $s(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f \leqslant S(b-a)$, можно получить тривиальную оценку, если известны $s$ и $S$. Тут даже ограничения на неотрицательность функции $f$ не нужно, а если уж она нетрицательна, то $M - m = \int\limits_{a}^{b}f \geqslant s(b-a)$. Вобщем, оценка эта (если ее так вообще можно называть) крайне скучная. А вот по поводу того, что нельзя эту оценку улучшить, то было бы интересно услышать Ваше мнение, почему нельзя? Потому что я как раз таки пытаюсь найти какой-то способ улучшить эту "оценку". У меня есть идея ввести некоторую неотрицательную невозрастающую вспомогательную функцию $\varphi(x)$. По второй теореме о среднем получаем $\int\limits_{a}^{b} f \cdot \varphi = \varphi(a) \cdot \int\limits_{a}^{\xi}f = \varphi(a) \cdot F(\xi)$ Видно, что $F$ связана очень хорошим равенством. Но я хочу решить эту задачу "в общем виде", не зная саму вспомогательную функцию. Хотелось бы понять, какие свойства для вспомогательной функции достаточно потребовать, не зная саму функцию (тем самым имея целый класс вспомогательных функций на выбор для решения конкретной задачи), чтобы получить достаточно хорошую оценку.

grizzly в сообщении #1435370 писал(а):

Хорошо, давайте попытаемся двигаться не так быстро.

Спасибо за понимание. А то мне правда трудно думать в Вашем темпе.

grizzly в сообщении #1435370 писал(а):

1) Может ли $l_m$ быть больше $S(b-a)$?

$l_m \leqslant S(b-a)$

grizzly в сообщении #1435370 писал(а):

2) Может ли $l_m$ быть меньше $s(b-a)$?

$l_m \geqslant s(b-a)$

grizzly в сообщении #1435370 писал(а):

3) Можно ли улучшить эти оценки?

Ну я не вижу каких-то принципиальных препятствий. Так что скорее всего да.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1435400 писал(а):

А вот по поводу того, что нельзя эту оценку улучшить, то было бы интересно услышать Ваше мнение, почему нельзя?

Потому что она достигается - например, на константных функциях.

Если про $f$ еще что-то известно, то можно пробовать что-то улучшить, но вряд ли сильно.
Для простоты считаем $a = s = 0$, $b = S = 1$ (сдвинем и смасштабируем отрезок и $f$; работает, если $f$ не константа, но с константами уже разобрались). Тогда если скажем $f$ дифференцируема и производная по модулю не превосходит $C \geqslant 1$, то $M \in [\frac{1}{2C}, 1 - \frac{1}{2C}]$, и к обеим границам можно приблизиться сколь угодно близко.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1435409 писал(а):

Потому что она достигается - например, на константных функциях.

Можно сформулировать оценку другими словами и в других терминах. И она просто будет совпадать с этой в случае константы. Я просто думал, что вокруг всего этого есть какая-то сильная общеизвестная теорема, которую я не знаю. Но видимо это не так.