Ограниченная функция

[oleg.k]

Пусть есть некоторая функция $f: [a, b] \to \mathbb{R}$, интегрируемая по Риману на отрезке $[a, b], (a < b)$. Определим на $[a, b]$ функцию $F(\xi) = \int\limits_{a}^{\xi}f$. Положим $m = \min \limits_{\xi \in [a, b]}F(\xi)$ и $M = \max \limits_{\xi \in [a, b]}F(\xi)$. Пусть $s = \inf \limits_{x \in [a, b]}f(x)$ и $S = \sup \limits_{x \in [a, b]}f(x)$. Меня интересует, есть ли какая-нибудь связь между отрезками $[m, M]$ и $[s, S]$. Единственное, что я вижу - это очевидный факт, что $0 \in [m, M]$. Можно ли здесь вытащить что-нибудь более интересное?

[oleg.k]

У меня есть одна гипотеза. Вроде бы какими бы функции $f$ и $F$ ни были бы, отрезки $[m, M]$ и $[s, S]$ не могут быть "разных знаков". Т.е. если все точки отрезка $[m, M]$ неположительны (неотрицательны), то найдется неположительная (неотрицательная) точка, принадлежащая отрезку $[s, S]$ и наоборот. А $[m, M]$ содержит ноль. Поведение отрезков не похоже на произвольное: как никак функция $F$ порождена функцией $f$. Но и никакого достаточно сильного свойства я пока не вижу.

[grizzly]

oleg.k в сообщении #1435188 писал(а):

У меня есть одна гипотеза.

Докажите её. На этом уровне здесь не станут за Вас решать задачу -- Вы должны продемонстрировать свои попытки, чтобы другие поняли, где у Вас проблемы с пониманием.

oleg.k в сообщении #1435188 писал(а):

Т.е. если все точки отрезка $[m, M]$ неположительны (неотрицательны)

А если хотя бы одна точка $[m, M]$ положительна (отрицательна), что-то можно сказать?

oleg.k в сообщении #1435188 писал(а):

Т.е. если все точки отрезка $[m, M]$ неположительны (неотрицательны), то найдется неположительная (неотрицательная) точка, принадлежащая отрезку $[s, S]$ и наоборот.

Сформулируйте, пожалуйста, это "наоборот". А то ведь "наоборот" "наобороту" рознь.

Если Вы чувствуете, что Вам не достаёт уверенного понимания, рассмотрите частные случаи: $f$ -- константа; монотонная функция; непрерывная функция. Где будут более сильные свойства? Вы сможете доказать их? Какие свойства сохранятся при переходе от одного класса к другому? Укажите конкретные контрпримеры, если какое-то свойство пропадает. Ну, как-то так можно с пользой продвигаться вперёд.

[oleg.k]

grizzly в сообщении #1435219 писал(а):

Докажите её.

С доказательством нету никаких проблем. Проблема не в доказательстве, а в самой гипотезе - она слишком слабая.

grizzly в сообщении #1435219 писал(а):

А если хотя бы одна точка $[m, M]$ положительна (отрицательна), что-то можно сказать?

А тогда надо формулировать более сильную гипотезу просто по определению моей гипотезы А какую - я не знаю. Собственно, с этим вопросом и обратился.

grizzly в сообщении #1435219 писал(а):

Сформулируйте, пожалуйста, это "наоборот". А то ведь "наоборот" "наобороту" рознь.

Если все точки отрезка $[s, S]$ неположительны (неотрицательны), то найдется неположительная (неотрицательная) точка, принадлежащая отрезку $[m, M]$.

grizzly в сообщении #1435219 писал(а):

На этом уровне здесь не станут за Вас решать задачу -- Вы должны продемонстрировать свои попытки, чтобы другие поняли, где у Вас проблемы с пониманием.

Прежде чем просить кого-то решить задачу, ее надо поставить Ясно, что $F$ - интеграл с переменным верхним пределом. Сама по себе неплохая функция: она непрерывна, образ домена - отрезок, теорема Барроу с ней напрямую связана и все такое. Но меня интересует, как связаны ее множество значений с отрезком, содержащим множество значений подынтегральной функции $f$.

[grizzly]

oleg.k в сообщении #1435231 писал(а):

Если все точки отрезка $[s, S]$ неположительны (неотрицательны), то найдется неположительная (неотрицательная) точка, принадлежащая отрезку $[m, M]$.

Найдётся одна точка? Вы правда не можете усилить эту гипотезу? :)

Всё же посмотрите частные случаи более простых функций. Это поможет Вам придумать / сформулировать более сильные гипотезы в частных случаях, а проверить их в более общих случаях Вы сумеете, как я понял. Или, может, поискать не просто усиление этой уже придуманной гипотезы, а что-то альтернативное. Скажем, из свойств интеграла я могу предположить, что удастся оценить длину отрезка $[m, M]$.

[oleg.k]

grizzly в сообщении #1435238 писал(а):

Вы правда не можете усилить эту гипотезу? :)

В эту сторону все и так очевидно: интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, это неинтересно.

grizzly в сообщении #1435238 писал(а):

Или, может, поискать не просто усиление этой уже придуманной гипотезы, а что-то альтернативное.

Да, конечно. Я эту гипотезу просто так привел (в интересную сторону: "и наоборот" было лишь формальной оговоркой). Нужно что угодно и чем разнообразнее, тем лучше.

grizzly в сообщении #1435238 писал(а):

Скажем, из свойств интеграла я могу предположить, что удастся оценить длину отрезка $[m, M]$.

Это было бы мне очень интересно. Не намекнете?

[grizzly]

oleg.k в сообщении #1435242 писал(а):

Я эту гипотезу просто так привел (в интересную сторону: "и наоборот" было лишь формальной оговоркой). Нужно что угодно и чем разнообразнее, тем лучше.

Так ведь я всё время намекаю, что в Вашей гипотезе (нестрогое) знакопостоянство всего отрезка $[m, M]$ -- это чересчур сильное требование. Достаточно, чтобы была хотя бы одна положительная (отрицательная) точка в этом отрезке, чтобы получить положительную (отрицательную) точку в $[s, S]$, разве нет?

oleg.k в сообщении #1435242 писал(а):

Не намекнете?

Намекаю ещё раз :(мне несложно) попытайтесь оценить длину отрезка $[m, M]$ для постоянной функции, для знакопостоянной, для монотонной, для непрерывной и т.п. Найдите хоть какую-то оценку, пусть она не будет точной / идеальной.

[oleg.k]

grizzly в сообщении #1435246 писал(а):

Достаточно, чтобы была хотя бы одна положительная (отрицательная) точка в этом отрезке, чтобы получить положительную (отрицательную) точку в $[s, S]$, разве нет?

Да, верно.

grizzly в сообщении #1435246 писал(а):

попытайтесь оценить длину отрезка $[m, M]$ для постоянной функции, для знакопостоянной, для монотонной, для непрерывной и т.п. Найдите хоть какую-то оценку, пусть она не будет точной / идеальной.

По поводу оценки длины отрезка $[m, M]$ ничего не получается. Я не вижу никаких возможных ее свойств. Попробовал частные случаи - поведение этого отрезка выглядит произвольным. Не томите, что я не вижу?

[grizzly]

oleg.k в сообщении #1435334 писал(а):

Не томите, что я не вижу?

Да вот я никак не могу этого понять. Давайте возьмём для примера постоянную функцию (выше я просил это сделать) $f(x)=y_0>0$. Тогда $s=S=y_0, m=0, M=y_0(b-a)$, верно? Неужели это сложно?

Пусть теперь $f$ -- произвольная неотрицательная функция. Оцените длину отрезка $[m,M]$ сверху и снизу.

[oleg.k]

grizzly в сообщении #1435341 писал(а):

Давайте возьмём для примера постоянную функцию (выше я просил это сделать) $f(x)=y_0>0$. Тогда $s=S=y_0, m=0, M=y_0(b-a)$, верно?

Да, верно. Это и я могу

grizzly в сообщении #1435341 писал(а):

Пусть теперь $f$ -- произвольная неотрицательная функция. Оцените длину отрезка $[m,M]$ сверху и снизу.

$m = 0$, $M = \int\limits_{a}^{b}f$ Я только не понимаю, что из этого следует?

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1435342 писал(а):

Я только не понимаю, что из этого следует?

Пусть $f(x) \leqslant g(x)$ для всех $x$. Что можно сказать про $M_f$ и $M_g$?
А что можно сказать про функции $f$ и $g(x) = M_f$?

[grizzly]

oleg.k в сообщении #1435342 писал(а):

Это и я могу

Звучит неубедительно, извините.

oleg.k в сообщении #1435342 писал(а):

grizzly в сообщении #1435341 писал(а):

Пусть теперь $f$ -- произвольная неотрицательная функция. Оцените длину отрезка $[m,M]$ сверху и снизу.

$m = 0$, $M = \int\limits_{a}^{b}f$ Я только не понимаю, что из этого следует?

Вы уверены, что понимаете смысл высказывания "оцените длину отрезка сверху и снизу"?
В моём примере длина отрезка $[m,M]$ (обозначим её $l_m$) была связана с (вырожденным) отрезком $[s,S]=y_0$ отношением $l_m=y_0(b-a)$. Как будет зависеть $l_m$ от $s$ и $S$ в Вашем случае?

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1435343 писал(а):

Пусть $f(x) \leqslant g(x)$ для всех $x$. Что можно сказать про $M_f$ и $M_g$?

$M_f \leqslant M_g$

mihaild в сообщении #1435343 писал(а):

А что можно сказать про функции $f$ и $g(x) = M_f$?

Можете поточнее написать, какие функции и от каких аргументов?

-- 15.01.2020, 18:25 --

grizzly в сообщении #1435346 писал(а):

В моём примере длина отрезка $[m,M]$ (обозначим её $l_m$) была связана с (вырожденным) отрезком $[s,S]=y_0$ отношением $l_m=y_0(b-a)$.

Да, но это же просто частный случай. Причем функция проще некуда.

grizzly в сообщении #1435346 писал(а):

Как будет зависеть $l_m$ от $s$ и $S$ в Вашем случае?

Мой случай - это если $f$ - произвольная неотрицательная? Если так, то простите, не знаю.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1435348 писал(а):

Можете поточнее написать, какие функции и от каких аргументов?

Ну какая-то функция $f(x)$, и функция $g(x) = M_f$. В ответе попробуйте использовать учесть предыдущий вопрос, а также ответ на исходный вопрос темы для константной функции (которой является $g$).

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1435353 писал(а):

Ну какая-то функция $f(x)$, и функция $g(x) = M_f$.

Вот честно пытаюсь понять, но ничего не понимаю... $M_f$ - это $S$ в моих обозначениях? Ну тогда $f(x) \leqslant S$ и что это дает? То, что $\int\limits_{a}^{b}f \leqslant S(b-a)$? Дак это абсолютно тривиально и никак не связано с этой темой. Напишите пожалуйста прямо, что я не вижу?