Взаимный базис и метрический тезор

[Akom]

Здравствуйте.

В общем делал по примеру отсюда https://helpiks.org/3-38360.html.
Базис задан такой: $\{e_1=(\frac{ \sqrt{3} }{ 2 };\frac{ 1 }{ 2 }), e_2=(0, 1)\}$,

1) Сначала нахожу метр.тензор:

\boldsymbol{g}_{i}_{k} = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0,5 \\ 0,5 & 1 \end{pmatrix} (верно?)

2) Затем взял от него обратную матрицу и получил контравариантый метр.тензор:

\boldsymbol{g}^{i}^{k} = \begin{pmatrix} 1,333.. & -0,6667.. \\ -0,6667.. & 1,333.. \end{pmatrix}

3) Теперь ищу координаты взаимного базиса помножая, как у них, матрицу исходных базисных векторов на контравариантый метр.тензор и получаю сие:

\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1,333.. & -0,6667.. \\ -0,6667.. & 1,333.. \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,821367205045918 & 0,0893163974770408 \\ -0,666666666666667 & 1,33333333333333 \end{pmatrix}

Как я понимаю, строки полученной матрицы, это векторы взаимного базиса? Но если теперь меж собой перемножить матрицы исходного и взаимного, должна ведь вроде как получиться единичная матрица? но тут не выходит. Подскажите пожалуйста, что неправильно?

[Munin]

Почему-то, начиная с пункта 2, у вас вместо точных чисел приближённые. Как будто вы на калькуляторе считали, или на сайте "сделаем за вас домашнюю работу". Подозрительно.

[Akom]

Считал в икселе, разве это важно?

[Munin]

В пункте 3: произведение двух матриц зависит от порядка сомножителей. Даже если один из сомножителей симметричный.

-- 14.01.2020 23:46:13 --

Akom в сообщении #1435224 писал(а):

считал я в икселе

А надо на бумажке. Полезнее.

-- 14.01.2020 23:49:50 --

Как я искал ошибку: сначала построил взаимный базис геометрически, а потом смотрел, почему вычисления не подходят под ответ, и что в них надо "подогнать".

[Akom]

Да, я знаю, что умножение матриц не коммутативно, просто на сайте умножали в таком порядке.

[Munin]

Приглядитесь, а?

-- 14.01.2020 23:58:49 --

(Я уже проверил в другом порядке, и получил правильный ответ.)

[arseniiv]

И если там действительно имелся в виду другой порядок, а не ошибка, то и матрицы там все и столбцы и строки должны быть транспонированы. Это не очень-то мейнстрим, чтобы векторы были строками, а ковекторы столбцами, но авторы причины находить любят.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1435230 писал(а):

И если там действительно имелся в виду другой порядок

Да на сайте-то правильный порядок.

[Akom]

Да как же правильный? Я вот поменял местами матрицы в 3 пункте и получил такую матрицу векторов:

\begin{pmatrix} 1,154... & 0 \\ -0,566... & 1 \end{pmatrix}

построил в икселе графики обоих базисов и да взаимно ортогональны, и при перемножении этих матриц(после транспонирования одной) таки получается единичная.

[Munin]

Akom в сообщении #1435235 писал(а):

Я вот поменял местами матрицы в 3 пункте и получил такую матрицу векторов:

$\begin{pmatrix} 1,154... & 0 \\ -0,566... & 1 \end{pmatrix}$

Вот это и есть правильный ответ.

Akom в сообщении #1435235 писал(а):

Да как же правильный?

Да так, если читать внимательно, там написано в пункте (1.в): $F_B=G_H^{-1}F_H.$
А вы записали задом наперёд.

[Akom]

Цитата:

Да так, если читать внимательно, там написано в пункте (1.в): $F_B=G_H^{-1}F_H.$
А вы записали задом наперёд.

Это да, вот только по факту то они наоборот перемножали же, вот я и затупил...

[Munin]

А, это да, но в их случае можно, потому что у них обе матрицы симметричные. А у вас не обе - у вас этот фокус не сработал.

[Akom]

Хотел бы уточнить еще один момент касаемо метрического тензора.
Изначально способ получения этого тензора я брал в книге Речкалова В.Г. "Векторная и тензорная алгебра" на стр.67. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 2008ru.pdf
У него получается, что левая матрица состоит из столбцов базисных векторов, а правая транспонирована, то есть базисы в строках. Я вот не могу понять, если я применю это к своему примеру, то у меня метрический тензор выходит вот такой:

\boldsymbol{g}_{i}_{k} = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ 3 }{ 4 } & \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } \\ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } & \frac{ 5 }{ 4 } \end{pmatrix}

но это ведь не верно. Я чего то опять не до понимаю или у него ошибка?

[arseniiv]

Вообще $g_{ij} = (e_{(i)}, e_{(j)})$ ¹, где $(u, v)$ — скалярное произведение $u, v$, которое можно записать как $g_{IJ} u^I v^J = u^I v_I$, где $v_I = g_{IJ} v^J$, и если исходный базис, в котором мы все эти координаты выражаем, ортонормированный, то $g_{IJ}$ образуют единичную матрицу, и $v_J = v^J$ (но координаты собраны в строку, а не столбец, что показывает индекс). Отсюда выходит $g_{ij} = (e_{(i)})^I (e_{(j)})_I$, где индекс второго множителя мы дальше поднимем для пущего удобства². Тут мы видим обычное произведение матрицы $e^I{}_{(i)}$, состоящей из столбцов, расположенных в строчку, и транспонированной ей $e^{(i)}{}_I$, и порядок их перемножения можно получить, если записав эти две штуки так, чтобы одинаковый индекс был по середине, слева нижний, справа верхний (ведь строка на столбец!): $e^{(i)}{}_I e^I{}_{(j)}$, то есть я выше записал сначала «неправильно» (в формулах с явными индексами разницы нет, но часто можно и удобно расположить множители так, чтобы был тот порядок, который будет при умножении матриц, строк и столбцов).

¹ Индексы в скобках тут показывают номер базисного вектора, а без скобок — координаты. Маленькие буквы относятся к новому интересующему нас базису, а большие — к старому, в котором выражены координаты векторов нового базиса и ковекторов соответствующего двойственного.

² По существу координаты $g$ должны образовывать строку строк, но это не очень удобно рисовать и умножать, потому чуть кривят душой. Но формулу с базисами и матрицами перехода это поднарушает.

[Akom]

Спасибо большое, теперь более менее разобрался со всем.