2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение14.01.2020, 22:43 


03/03/19
10
Здравствуйте.

В общем делал по примеру отсюда https://helpiks.org/3-38360.html.
Базис задан такой: $\{e_1=(\frac{ \sqrt{3}  }{ 2 };\frac{ 1 }{ 2 }), e_2=(0, 1)\}$,

1) Сначала нахожу метр.тензор:

\boldsymbol{g}_{i}_{k} = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 }  & \frac{ 1 }{ 2 }  \\ 0  & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 }  & 0  \\ \frac{ 1 }{ 2 }  & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 &  0,5  \\  0,5  & 1  \end{pmatrix} (верно?)

2) Затем взял от него обратную матрицу и получил контравариантый метр.тензор:

\boldsymbol{g}^{i}^{k} = \begin{pmatrix} 1,333..  & -0,6667..  \\ -0,6667..  & 1,333..  \end{pmatrix}

3) Теперь ищу координаты взаимного базиса помножая, как у них, матрицу исходных базисных векторов на контравариантый метр.тензор и получаю сие:

\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 }  & \frac{ 1 }{ 2 }  \\ 0  & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1,333..  & -0,6667..  \\ -0,6667..  & 1,333..  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,821367205045918  & 0,0893163974770408  \\ -0,666666666666667  & 1,33333333333333 \end{pmatrix}

Как я понимаю, строки полученной матрицы, это векторы взаимного базиса? Но если теперь меж собой перемножить матрицы исходного и взаимного, должна ведь вроде как получиться единичная матрица? но тут не выходит. Подскажите пожалуйста, что неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение14.01.2020, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Почему-то, начиная с пункта 2, у вас вместо точных чисел приближённые. Как будто вы на калькуляторе считали, или на сайте "сделаем за вас домашнюю работу". Подозрительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение14.01.2020, 23:45 


03/03/19
10
Считал в икселе, разве это важно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение14.01.2020, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В пункте 3: произведение двух матриц зависит от порядка сомножителей. Даже если один из сомножителей симметричный.

-- 14.01.2020 23:46:13 --

Akom в сообщении #1435224 писал(а):
считал я в икселе

А надо на бумажке. Полезнее.

-- 14.01.2020 23:49:50 --

Как я искал ошибку: сначала построил взаимный базис геометрически, а потом смотрел, почему вычисления не подходят под ответ, и что в них надо "подогнать".

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение14.01.2020, 23:50 


03/03/19
10
Да, я знаю, что умножение матриц не коммутативно, просто на сайте умножали в таком порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение14.01.2020, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Приглядитесь, а?

-- 14.01.2020 23:58:49 --

(Я уже проверил в другом порядке, и получил правильный ответ.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
И если там действительно имелся в виду другой порядок, а не ошибка, то и матрицы там все и столбцы и строки должны быть транспонированы. Это не очень-то мейнстрим, чтобы векторы были строками, а ковекторы столбцами, но авторы причины находить любят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #1435230 писал(а):
И если там действительно имелся в виду другой порядок

Да на сайте-то правильный порядок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:11 


03/03/19
10
Да как же правильный? Я вот поменял местами матрицы в 3 пункте и получил такую матрицу векторов:

\begin{pmatrix} 1,154...  & 0  \\ -0,566...  & 1 \end{pmatrix}

построил в икселе графики обоих базисов и да взаимно ортогональны, и при перемножении этих матриц(после транспонирования одной) таки получается единичная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Akom в сообщении #1435235 писал(а):
Я вот поменял местами матрицы в 3 пункте и получил такую матрицу векторов:

$\begin{pmatrix} 1,154...  & 0  \\ -0,566...  & 1 \end{pmatrix}$

Вот это и есть правильный ответ.

Akom в сообщении #1435235 писал(а):
Да как же правильный?

Да так, если читать внимательно, там написано в пункте (1.в): $F_B=G_H^{-1}F_H.$
А вы записали задом наперёд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:19 


03/03/19
10
Цитата:
Да так, если читать внимательно, там написано в пункте (1.в): $F_B=G_H^{-1}F_H.$
А вы записали задом наперёд.




Это да, вот только по факту то они наоборот перемножали же, вот я и затупил...

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, это да, но в их случае можно, потому что у них обе матрицы симметричные. А у вас не обе - у вас этот фокус не сработал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 00:39 


03/03/19
10
Хотел бы уточнить еще один момент касаемо метрического тензора.
Изначально способ получения этого тензора я брал в книге Речкалова В.Г. "Векторная и тензорная алгебра" на стр.67. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 2008ru.pdf
У него получается, что левая матрица состоит из столбцов базисных векторов, а правая транспонирована, то есть базисы в строках. Я вот не могу понять, если я применю это к своему примеру, то у меня метрический тензор выходит вот такой:

\boldsymbol{g}_{i}_{k} = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 }  & 0  \\ \frac{ 1 }{ 2 }  & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 }  & \frac{ 1 }{ 2 }  \\ 0  & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ 3 }{ 4 }  & \frac{ \sqrt{3} }{ 4 }  \\ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 }  & \frac{ 5 }{ 4 } \end{pmatrix}

но это ведь не верно. Я чего то опять не до понимаю или у него ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 01:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вообще $g_{ij} = (e_{(i)}, e_{(j)})$ ¹, где $(u, v)$ — скалярное произведение $u, v$, которое можно записать как $g_{IJ} u^I v^J = u^I v_I$, где $v_I = g_{IJ} v^J$, и если исходный базис, в котором мы все эти координаты выражаем, ортонормированный, то $g_{IJ}$ образуют единичную матрицу, и $v_J = v^J$ (но координаты собраны в строку, а не столбец, что показывает индекс). Отсюда выходит $g_{ij} = (e_{(i)})^I (e_{(j)})_I$, где индекс второго множителя мы дальше поднимем для пущего удобства². Тут мы видим обычное произведение матрицы $e^I{}_{(i)}$, состоящей из столбцов, расположенных в строчку, и транспонированной ей $e^{(i)}{}_I$, и порядок их перемножения можно получить, если записав эти две штуки так, чтобы одинаковый индекс был по середине, слева нижний, справа верхний (ведь строка на столбец!): $e^{(i)}{}_I e^I{}_{(j)}$, то есть я выше записал сначала «неправильно» (в формулах с явными индексами разницы нет, но часто можно и удобно расположить множители так, чтобы был тот порядок, который будет при умножении матриц, строк и столбцов).

¹ Индексы в скобках тут показывают номер базисного вектора, а без скобок — координаты. Маленькие буквы относятся к новому интересующему нас базису, а большие — к старому, в котором выражены координаты векторов нового базиса и ковекторов соответствующего двойственного.

² По существу координаты $g$ должны образовывать строку строк, но это не очень удобно рисовать и умножать, потому чуть кривят душой. Но формулу с базисами и матрицами перехода это поднарушает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимный базис и метрический тезор
Сообщение15.01.2020, 11:06 


03/03/19
10
Спасибо большое, теперь более менее разобрался со всем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ludi, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group