Повторная (nested) функция

[Nxx]

Повторная функция - функция, примененная n раз:

nest_n f(x) = f(f(f(...(x))))

n раз.

Вопрос: а можно ли в общем виде распространить эту формулу на нецелые n?

То есть, функция, примененная 1/2 раз, 3/2 раз и т.д.?
Если

nest_1/2 f(x) = g (x), то g(g(x))=f(x)

Например, x^2 - функция x^4 примененная 1/2 раз. А в общем виде?
Можно ли получить, например, степенной ряд для таких дробных функций?

[ddn]

Nxx писал(а):

Вопрос: а можно ли в общем виде распространить эту формулу на нецелые n?
Можно ли получить, например, степенной ряд для таких дробных функций?

Можно, на каждом конечном, полубесконечном или бесконечном открытом интервале $(a,b)$ (где $a<b$) этой непрерывной функции, на котором функция $f(x)$ строго монотонно возрастает, $f(a)=a$, $f(b)=b$ и выполняется либо всюду $f(x)>x$, либо всюду $f(x)<x$ на этом интервале.
Но такое распространение - выбором функции $F(x,t)$ (где $x\in(a,b)$ и число композиций $t\in\mathbb{R}$) строго монотонной по $x$ и $t$ и со свойствами $F(x,1)=f(x)$ и $F(x,t_1+t_2)=F(F(x,t_1),t_2)$ - можно осуществить только с функциональным произволом, даже при аналитичности $F(x,t)$ по $t$ (уверен, что аналитичная всегда найдется).

Степенной ряд и аналитичность по $x$ гарантировать не могу. Используя функциональный произвол, всегда можно испортить аналитичность по $x$ для всех $F(x,t)$ при нецелом $t$ - в том числе, при нецелом рациональном. Из аналитичности $f^{[n]}(x)$ не следует аналитичность непрерывной функции $f(x)$.
Но, уверен, аналитичность по $x$ можно восстановить для иррациональных $t$ (не всех сразу, конечно), если сама $f(x)$ аналитичностью по $x$ не обладала.

[Nxx]

Существует ли естественный способ построения такого оператора (с сохранением аналитичности, естественно и всего прочего), наподобие дробной производной?

[ddn]

Nxx писал(а):

Существует ли естественный способ построения такого оператора (с сохранением аналитичности, естественно и всего прочего), наподобие дробной производной?

Исключено. При самом построении используется произвол.
Чтобы задать всю $F(x,t)$ достаточно кроме $F(x,1)=f(x)$ задать $F(x,t_0)$ всего для некоторого произвольного иррационального $t_0$ и воспользоваться групповым свойством и непрерывностью по $t$.

А произвол на основе аналитичности неустраним. Даже если все аналитично, то все равно остается функциональный произвол... как это не печально.

Если $F(x,t)=\phi^{[-1]}(\phi(x)+t)$, где $\phi:C((a,b)\leftrightarrow\mathbb{R})$ - очевидно строго монотонная, возрастающая (если $f(x)>x$) или убывающая (если $f(x)<x$), функция, подобранная для функции $f(x)$ и одного из ее интервалов $(a,b)$ так, чтобы $F(x,1)=f(x)$ (она всегда явно построима, но не факт, что такая $\phi$ всегда отыщется аналитической).

Групповое же свойство $F(x,t_1+t_2)=F(F(x,t_1),t_2)$ выполняется автоматически:
$F(x,t_1+t_2)=\phi^{[-1]}(\phi(x)+t_1+t_2)=\phi^{[-1]}(\phi(\phi^{[-1]}(\phi(x)+t_1))+t_2)=$
$=\phi^{[-1]}(\phi(F(x,t_1))+t_2)=F(F(x,t_1),t_2)$.

Для $F(x,t)$, заданной по $t$ на всем $\mathbb{R}$, функция $\phi$ определена с точностью до аддитивной константы:
так как $F(\cdot,t)=\phi^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi$, то пусть $\phi_1^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi_1=\phi_2^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi_2$, тогда
$\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}\circ(+t)=(+t)\circ\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$ для любого вещественного $t$.
Если функция $\psi=\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$ перестановочна с $(+t)$ для любого вещественного $t$,
то есть если $\psi(y+t)=\psi(y)+t$, то очевидно она сама равна $\psi=(+h)$, где $h=\psi(0)$.
Значит $\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}=(+h)$ и $\phi_2=(+h)\circ\phi_1$.
Очевидно, что $\phi_2(x)=\phi_1(x)+h$ и $\phi_2^{[-1]}(y)=\phi_1^{[-1]}(y-h)$, и $\phi_2$ действительно приводит к той же $F(x,t)$ что и $\phi_1$:
$\phi_1^{[-1]}(\phi_1(x)+t)=\phi_1^{[-1]}(\phi_1(x)+h+t-h)$.

Но если нам задана функция $f(x)$, то $F(x,t)$ задана только для целочисленных $t$: $F(x,n)=f^{[n]}(x)$.
И тогда $F(x,t)$ будет определена с точностью до функции $\psi=\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$, перестановочной с $(+n)$ для целочисленных $n$, то есть $\psi(y+n)=\psi(y)+n$. Так как из определения $\psi:C(\mathbb{R}\leftrightarrow\mathbb{R})$, то $\psi$ строго монотонно возрастает и взяв произвольную монотонную функцию $\chi:C([0,1)\leftrightarrow[0,1))$, $\chi(0)=0$, $\lim\limits_{y\to1-0}\chi(y)=1$ и произвольное $h$ мы получим однозначное описание всех таких функций $\psi$ по правилу: $\psi(y)=\chi(\{y\})+[y]+h$.
Слагаемое $h$ не вносит изменений в функцию $F(x,t)$, а вот отклонение $\chi$ от тождественной функции $id_{[0,1)}$ (здесь $id(y)=(+0)(y)=y$ на $[0,1)$) - вносит.
Можно взять, например $\psi=y+\alpha\sin(2\pi y)$, где $|\alpha|<1$ - для сохранения монотонности, и тогда новая $\phi_2=\psi\circ\phi_1$ будет аналитической, если старая $\phi_1$ была. То есть, если есть хоть одна аналитическая $\phi$ для данной $f(x)$ (уверен, что для каждой аналитической $f(x)$, но доказательств нет), то эта аналитическая $\phi$ определена с точностью до функционального произвола - вместо $\alpha\sin(2\pi y)$ можно взять любую на $\mathbb{R}$ аналитическую, 1-периодическую, с производной по абс. величине меньшей $1$, функцию.

[Nxx]

Не понимаю я вваших обозначений. Почему вы называете константы t, когда t обычно обозначают тождественную функцию? что такое функция (+h)? t+h или просто константа h? Что такое (+0)?

[ddn]

Nxx писал(а):

Не понимаю я вваших обозначений. Почему вы называете константы t, когда t обычно обозначают тождественную функцию? что такое функция (+h)? t+h или просто константа h? Что такое (+0)?

Тождественная функция обозначается $id$.
$t$ - итерационный параметр (число композиций функции). Функция $(+h):x\mapsto x+h$, $(+0)$ - аналогично.