Nxx писал(а):
Существует ли естественный способ построения такого оператора (с сохранением аналитичности, естественно и всего прочего), наподобие дробной производной?
Исключено. При самом построении используется произвол.
Чтобы задать всю

достаточно кроме

задать

всего для некоторого произвольного иррационального

и воспользоваться групповым свойством и непрерывностью по

.
А произвол на основе аналитичности неустраним. Даже если все аналитично, то все равно остается
функциональный произвол... как это не печально.
Если
![$F(x,t)=\phi^{[-1]}(\phi(x)+t)$ $F(x,t)=\phi^{[-1]}(\phi(x)+t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/e/75ed7003771e45dce3728341afd8985982.png)
, где

- очевидно строго монотонная, возрастающая (если

) или убывающая (если

), функция, подобранная для функции

и одного из ее интервалов

так, чтобы

(она всегда явно построима, но не факт, что такая

всегда отыщется аналитической).
Групповое же свойство

выполняется автоматически:
![$=\phi^{[-1]}(\phi(F(x,t_1))+t_2)=F(F(x,t_1),t_2)$ $=\phi^{[-1]}(\phi(F(x,t_1))+t_2)=F(F(x,t_1),t_2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/f/97fe50009fea4d8184c73847270f477c82.png)
.
Для

, заданной по

на всем

, функция

определена с точностью до аддитивной константы:
так как
![$F(\cdot,t)=\phi^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi$ $F(\cdot,t)=\phi^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2a304b8b4c631fa7e036543212a1bf282.png)
, то пусть
![$\phi_1^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi_1=\phi_2^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi_2$ $\phi_1^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi_1=\phi_2^{[-1]}\circ(+t)\circ\phi_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/7/297ebe8caef0876489d2681a39f515d282.png)
, тогда
![$\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}\circ(+t)=(+t)\circ\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$ $\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}\circ(+t)=(+t)\circ\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/9/8f954626cc2fce67ec6c99100700818982.png)
для любого вещественного

.
Если функция
![$\psi=\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$ $\psi=\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/b/19b8de2d16c7944518f751a3890b51dc82.png)
перестановочна с

для любого вещественного

,
то есть если

, то очевидно она сама равна

, где

.
Значит
![$\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}=(+h)$ $\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}=(+h)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/3/cc34cea6bfc849f66f71e5f71aea9b5c82.png)
и

.
Очевидно, что

и
![$\phi_2^{[-1]}(y)=\phi_1^{[-1]}(y-h)$ $\phi_2^{[-1]}(y)=\phi_1^{[-1]}(y-h)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/2/9c23b34deeab6ccae188b4046636bb4882.png)
, и

действительно приводит к той же

что и

:
![$\phi_1^{[-1]}(\phi_1(x)+t)=\phi_1^{[-1]}(\phi_1(x)+h+t-h)$ $\phi_1^{[-1]}(\phi_1(x)+t)=\phi_1^{[-1]}(\phi_1(x)+h+t-h)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/7/137ce4389778a7e3dbb68c29fadfd4f082.png)
.
Но если нам задана функция

, то

задана только для целочисленных

:
![$F(x,n)=f^{[n]}(x)$ $F(x,n)=f^{[n]}(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/f/3dfae17bfdd31ab9f60c67ae5308591182.png)
.
И тогда

будет определена с точностью до функции
![$\psi=\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$ $\psi=\phi_2\circ\phi_1^{[-1]}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/b/19b8de2d16c7944518f751a3890b51dc82.png)
, перестановочной с

для целочисленных

, то есть

. Так как из определения

, то

строго монотонно возрастает и взяв произвольную монотонную функцию

,

,

и произвольное

мы получим однозначное описание всех таких функций

по правилу:
![$\psi(y)=\chi(\{y\})+[y]+h$ $\psi(y)=\chi(\{y\})+[y]+h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/7/6a7c1156e54f2015b07d3c11db0873e082.png)
.
Слагаемое

не вносит изменений в функцию

, а вот отклонение

от тождественной функции

(здесь

на

) - вносит.
Можно взять, например

, где

- для сохранения монотонности, и тогда новая

будет аналитической, если старая

была. То есть, если есть хоть одна аналитическая

для данной

(уверен, что для каждой аналитической

, но доказательств нет), то эта аналитическая

определена с точностью до
функционального произвола - вместо

можно взять любую на

аналитическую, 1-периодическую, с производной по абс. величине меньшей

, функцию.