2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 12:53 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Еще раз всем здравия. Помогите понять: Координаты вектора $\vec{r}$ относительно произвольного базиса $(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)$ задаются равенствами:

$\lambda_1 = \frac{(\vec{r},\vec{e}_2, \vec{e}_3)}{(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)}$

$\lambda_2 = \frac{(\vec{r},\vec{e}_3, \vec{e}_1)}{(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)}$

$\lambda_3 = \frac{(\vec{r},\vec{e}_1, \vec{e}_2)}{(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)}$ .

Как преобразуются эти формулы, если $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ образуют декартов базис?

Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Stensen в сообщении #1434867 писал(а):
Как преобразуются эти формулы, если $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ образуют декартов базис?

Что есть декартов базис? Для вышевыписанных формул надо только, чтобы было задано смешанное произведение (антисимметричное, линейное по каждому вектору), годятся, как Вы сами выше пишете, любые (некомпланарные) тройки векторов.

Stensen в сообщении #1434867 писал(а):
Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

А вот это уже не обязательно, если только $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ ортонормированные.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 16:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вероятно, «декартов базис» и означает ортонормированный, а название взято от декартовой системы координат, используемый в которой базис как раз такой.

-- Пн янв 13, 2020 18:11:45 --

Хотя в другой теме фигурирует ортонормированный, то есть или это такая художественная синонимия в текстах, или оно и правда значит что-то другое. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 16:27 
Аватара пользователя


26/11/14
754
пианист в сообщении #1434905 писал(а):
Stensen в сообщении #1434867 писал(а):
Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?
А вот это уже не обязательно, если только $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ ортонормированные.
Для орто-не-нормированных, видимо, так?

$\lambda_1 = \frac{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}{\left\lvert\vec{e_1}\right\rvert}  \cdot \cos \alpha$; $\lambda_2 = \frac{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}{\left\lvert\vec{e_2}\right\rvert}  \cdot \cos \beta$; $\lambda_3 = \frac{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}{\left\lvert\vec{e_3}\right\rvert}  \cdot \cos \gamma$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 16:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ортонормированный базис как раз чем лучше неортонормированного — тем, что чтобы узнать $i$-ю координату вектора, нам нужно знать лишь его и $i$-й базисный вектор. А в неортонормированном это не так: направление проецирования на этот вектор задаётся направлениями остальных базисных векторов. Так что формулы, включающие не все их, верными быть не могут.

-- Пн янв 13, 2020 18:33:51 --

(Косинус можно расписать через скалярные произведения, включающие только один базисный вектор.)

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе
Сообщение13.01.2020, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Stensen в сообщении #1434867 писал(а):
Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

В самой вот этой фразе ошибка. Что такое "это"? Косинусы - это направляющие косинусы (в ортонормированном базисе), а лямбды - не косинусы, они от косинусов отличаются на множитель.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group