ЛинАл и АнГеом. Координаты в декартовом базисе

[Stensen]

Еще раз всем здравия. Помогите понять: Координаты вектора $\vec{r}$ относительно произвольного базиса $(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)$ задаются равенствами:

$\lambda_1 = \frac{(\vec{r},\vec{e}_2, \vec{e}_3)}{(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)}$

$\lambda_2 = \frac{(\vec{r},\vec{e}_3, \vec{e}_1)}{(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)}$

$\lambda_3 = \frac{(\vec{r},\vec{e}_1, \vec{e}_2)}{(\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3)}$ .

Как преобразуются эти формулы, если $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ образуют декартов базис?

Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

[пианист]

Stensen в сообщении #1434867 писал(а):

Как преобразуются эти формулы, если $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ образуют декартов базис?

Что есть декартов базис? Для вышевыписанных формул надо только, чтобы было задано смешанное произведение (антисимметричное, линейное по каждому вектору), годятся, как Вы сами выше пишете, любые (некомпланарные) тройки векторов.

Stensen в сообщении #1434867 писал(а):

Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

А вот это уже не обязательно, если только $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ ортонормированные.

[arseniiv]

Вероятно, «декартов базис» и означает ортонормированный, а название взято от декартовой системы координат, используемый в которой базис как раз такой.

-- Пн янв 13, 2020 18:11:45 --

Хотя в другой теме фигурирует ортонормированный, то есть или это такая художественная синонимия в текстах, или оно и правда значит что-то другое.

[Stensen]

пианист в сообщении #1434905 писал(а):

Stensen в сообщении #1434867 писал(а):

Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

А вот это уже не обязательно, если только $\vec{e}_1, \,\vec{e}_2, \,\vec{e}_3$ ортонормированные.

Для орто-не-нормированных, видимо, так?

$\lambda_1 = \frac{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}{\left\lvert\vec{e_1}\right\rvert} \cdot \cos \alpha$; $\lambda_2 = \frac{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}{\left\lvert\vec{e_2}\right\rvert} \cdot \cos \beta$; $\lambda_3 = \frac{\left\lvert\vec{r}\right\rvert}{\left\lvert\vec{e_3}\right\rvert} \cdot \cos \gamma$

[arseniiv]

Ортонормированный базис как раз чем лучше неортонормированного — тем, что чтобы узнать $i$-ю координату вектора, нам нужно знать лишь его и $i$-й базисный вектор. А в неортонормированном это не так: направление проецирования на этот вектор задаётся направлениями остальных базисных векторов. Так что формулы, включающие не все их, верными быть не могут.

-- Пн янв 13, 2020 18:33:51 --

(Косинус можно расписать через скалярные произведения, включающие только один базисный вектор.)

[пианист]

Да.

[Munin]

Stensen в сообщении #1434867 писал(а):

Правильно я понимаю, что это направляющие косинусы: $\lambda_1 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \alpha$, $\lambda_2 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \beta$, $\lambda_3 = \left\lvert\vec{r}\right\rvert \cdot \cos \gamma$ ?

В самой вот этой фразе ошибка. Что такое "это"? Косинусы - это направляющие косинусы (в ортонормированном базисе), а лямбды - не косинусы, они от косинусов отличаются на множитель.