Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.

[r0ma]

Здравствуйте. Никогда не обращал на это внимания, но вот обратил и не понял.
Сила Кулона и гравитационная сила притяжения имеют одинаковую форму записи:

$$F = \frac{\alpha}{r^2}$$

.

Работа, при переносе этими силами на бесконечно малое $dr$ равна убыли потенциально энергии: $dA = - dU.$ Вычислим потенциальную энергию при переносе из точки $r_1$ в точку $r_2.$

$$U = -\int dA = -\alpha\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2} = -\alpha \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right).$$

Уславливаются, что на бесконечности потенциал равен нулю. Подставим $r_2 = \infty.$ Тогда

$$U(r)=\frac{\alpha}{r}.$$

Теперь возвратимся к конкретным выражения в Кулоне и Ньютоне. Согласно этому потенциальная энергия заряда $q_1$, когда второй заряд находится в $r = \infty$ есть

$$U^{K}(r)=\frac{k q_1 q_2}{r}.$$

Аналогично для Ньютона:

$$U^{N}(r)=G\frac{m_1 m_2}{r}.$$

В обоих случаях у меня получился одинковый знак потенциально энергии. В учебниках в Ньютоновской потенциальной энергии ставят знак минус. Почему?

[amon]

r0ma в сообщении #1434909 писал(а):

В учебниках в Ньютоновской потенциальной энергии ставят знак минус. Почему?

А что там с направлением силы и притяжением-отталкиванием?

[r0ma]

amon в сообщении #1434912 писал(а):

А что там с направлением силы и притяжением-отталкиванием?

Это да. Просто я действовал математически формально и пришёл к другому результату. Таким образом различие заключается в том, что в Ньютоне потенциальную энергию выбирают как работа по переносу второго тела из бесконечносьи в точку $r$, а в Кулоне наоборот из $r$ в бесконечность, так? И делается это для того, чтобы притяжение с математической точки зрения совпадало с реально наблюдаемым?

[EUgeneUS]

r0ma в сообщении #1434915 писал(а):

Таким образом различие заключается в том, что в Ньютоне потенциальную энергию выбирают как работа по переносу второго тела из бесконечносьи в точку $r$, а в Кулоне наоборот из $r$ в бесконечность, так?

Нет не так.
В обоих случаях "тащат" пробный заряд из бесконечности (где потенциал принят за ноль) в какую-то точку.
Но
а) в случае Ньютоновской гравитации массы бывают только положительными и они притягиваются, а значит поле совершает положительную работу над телом, а значит потенциал всюду меньше, чем на бесконечности, а значит нужен знак минус.
б) в случае силы Кулона заряды бывают двух разных знаков, и одноименные заряды отталкиваются, а значит (для одноименных зарядов) поле совершает отрицательную работу при перемещении пробного заряда из бесконечности, а значит потенциал всюду больше, чем на бесконечности, и нужен знак плюс.

[amon]

r0ma в сообщении #1434915 писал(а):

Просто я действовал математически формально и пришёл к другому результату.

Как это в таких случаях водится, неправильному. Вы написали $F = \frac{\alpha}{r^2}$. Сила, вообще-то, вектор. И куда она направлена? Как переписать Вашу формулу "со стрелочками"?

[r0ma]

EUgeneUS в сообщении #1434925 писал(а):

r0ma в сообщении #1434915 писал(а):

Таким образом различие заключается в том, что в Ньютоне потенциальную энергию выбирают как работа по переносу второго тела из бесконечносьи в точку $r$, а в Кулоне наоборот из $r$ в бесконечность, так?

Нет не так.
В обоих случаях "тащат" пробный заряд из бесконечности (где потенциал принят за ноль) в какую-то точку.
Но
а) в случае Ньютоновской гравитации массы бывают только положительными и они притягиваются, а значит поле совершает положительную работу над телом, а значит потенциал всюду меньше, чем на бесконечности, а значит нужен знак минус.
б) в случае силы Кулона заряды бывают двух разных знаков, и одноименные заряды отталкиваются, а значит (для одноименных зарядов) поле совершает отрицательную работу при перемещении пробного заряда из бесконечности, а значит потенциал всюду больше, чем на бесконечности, и нужен знак плюс.

Спасибо! Действительно, по физике что-то не подумал.

-- Пн янв 13, 2020 16:18:13 --

amon в сообщении #1434933 писал(а):

r0ma в сообщении #1434915 писал(а):

Просто я действовал математически формально и пришёл к другому результату.

Как это в таких случаях водится, неправильному. Вы написали $F = \frac{\alpha}{r^2}$. Сила, вообще-то, вектор. И куда она направлена? Как переписать Вашу формулу "со стрелочками"?

Да, всё понял теперь. Конечно же. Спасибо.
Можно ли с физической точки зрения объяснить почему тела с положительной массой притягиваются, а заряды с одинаковыми знаками отталкиваются? Не прибегая к опыту. Законы по математике имеют одинаковый вид, однако силы имеют разное направление при прочих равных.

[arseniiv]

r0ma в сообщении #1434937 писал(а):

Можно ли с физической точки зрения объяснить почему тела с положительной массой притягиваются, а заряды с одинаковыми знаками отталкиваются? Не прибегая к опыту.

Не, нельзя. В квантовой теории поля например это объясняется тем, что одно поле имеет чётный спин, а другое нечётный, но в том случае надо постулировать, грубо говоря, само значение спина поля. Именно опыт нам говорит, какие у нас есть вообще поля и с какими свойствами. Они могли быть другие и в другом количестве.

[amon]

r0ma в сообщении #1434937 писал(а):

Можно ли с физической точки зрения объяснить почему тела с положительной массой притягиваются, а заряды с одинаковыми знаками отталкиваются?

Это ведь вопрос соглашения и эксперимента. Ни кто не видел гравитационного отталкивания, но видели электростатическое притяжение и отталкивание. Поэтому нет смысла вводить "гравитационные заряды" разных знаков, но для электрических это вполне осмысленная операция. В том, что для разных взаимодействий работает закон обратных квадратов большого чуда нет. Гук (который, с большой вероятностью, этот закон придумал) "выводил" его так. "Божественная сила неуничтожима и всепроникающа. Тогда количество божественной силы, проходящей через сферы разного диаметра, окружающие источник этой силы одинаково. Поскольку площадь сферы пропорциональна квадрату расстояния, сила должна быть обратно пропорциональна оному."

[Munin]

r0ma в сообщении #1434909 писал(а):

В обоих случаях у меня получился одинаковый знак потенциально энергии. В учебниках в Ньютоновской потенциальной энергии ставят знак минус. Почему?

Когда вы записали выражение

r0ma в сообщении #1434909 писал(а):

$$F = \frac{\alpha}{r^2}$$

- вы уже потеряли знак. В векторном виде это выражение записывается как

$$\mathbf{F}=\dfrac{\alpha}{r^3}\mathbf{r}$$

(надеюсь, вас не смущает обозначение вектора полужирным шрифтом - так принято в физике, и так я и буду писать, $\mathbf{r}\equiv\vec{r}$). Теперь уже на этом этапе будет видно, что знаки для закона Кулона и закона Ньютона в числителе разные:

$$\alpha^C=kq_1 q_2\qquad \alpha^N=-Gm_1 m_2.$$

Кстати, для проверки: есть ещё закон Кулона для магнитных полюсов. Как по-вашему, какой знак будет иметь числитель для этого закона?

Дальше, когда мы двигаем один заряд ($\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r}),$   $U=U(\mathbf{r})$), и считаем его пробным (слишком малым, чтобы влиять на положение других зарядов), то соотношение между силой и потенциальной энергией становится таким:

$$\begin{gathered}\mathbf{F}=-\operatorname{grad}U\qquad\text{то есть}\quad F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x},\quad F_y=-\dfrac{\partial U}{\partial y},\quad F_z=-\dfrac{\partial U}{\partial z}\\ U=-\int dA=-\int\mathbf{F}\,d\mathbf{s}\end{gathered}$$

и интегрирование происходит по какой-то пространственной линии. Только в случае центрального силового поля (сферически-симметричного, и все силы направлены по радиусу), этот интеграл зависит только от расстояний начальной и конечной точки от центра, и упрощается так, как вы его записали.

И наконец, если всё честно проинтегрировать, то получается, действительно,

r0ma в сообщении #1434909 писал(а):

$$U(r)=\frac{\alpha}{r}.$$

где константа $\alpha$ со знаком в точности та же, которая стоит в векторном законе для силы $\mathbf{F}.$ Ну а знак мы туда уже заложили.

(На более глубоком уровне, оказывается, что гравитация возникает иначе, чем кулоновская сила: на языке теории поля, электрическая сила создаётся векторным полем, а гравитация - тензорным полем. Все векторные поля дают закон типа "одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются", а все тензорные поля - "все притягиваются". Но это далеко в перспективе.)

-- 13.01.2020 17:10:10 --

amon в сообщении #1434953 писал(а):

В том, что для разных взаимодействий работает закон обратных квадратов большого чуда нет.

Ну, та же теория поля, стоит сделать шаг в сторону, даёт много разных законов, а не только закон обратных квадратов. Для примера:
- закон Юкавы $U\sim e^{-r/r_0}/r$;
- закон Шварцшильда в первом приближении $U\sim 1/(r-r_0)$;
- закон асимптотической свободы и конфайнмента, который вообще "вывернут наизнанку": на малых расстояниях взаимодействие исчезает, а на больших неограниченно растёт.