2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 15:28 
Аватара пользователя


10/03/11
208
Здравствуйте. Никогда не обращал на это внимания, но вот обратил и не понял.
Сила Кулона и гравитационная сила притяжения имеют одинаковую форму записи:
$$F = \frac{\alpha}{r^2}$$.

Работа, при переносе этими силами на бесконечно малое $dr$ равна убыли потенциально энергии: $dA = - dU.$ Вычислим потенциальную энергию при переносе из точки $r_1$ в точку $r_2.$
$$U = -\int dA = -\alpha\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2} = -\alpha \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right).$$

Уславливаются, что на бесконечности потенциал равен нулю. Подставим $r_2 = \infty.$ Тогда
$$U(r)=\frac{\alpha}{r}.$$

Теперь возвратимся к конкретным выражения в Кулоне и Ньютоне. Согласно этому потенциальная энергия заряда $q_1$, когда второй заряд находится в $r = \infty$ есть
$$U^{K}(r)=\frac{k q_1 q_2}{r}.$$

Аналогично для Ньютона:
$$U^{N}(r)=G\frac{m_1 m_2}{r}.$$

В обоих случаях у меня получился одинковый знак потенциально энергии. В учебниках в Ньютоновской потенциальной энергии ставят знак минус. Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
r0ma в сообщении #1434909 писал(а):
В учебниках в Ньютоновской потенциальной энергии ставят знак минус. Почему?
А что там с направлением силы и притяжением-отталкиванием?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 15:42 
Аватара пользователя


10/03/11
208
amon в сообщении #1434912 писал(а):
А что там с направлением силы и притяжением-отталкиванием?

Это да. Просто я действовал математически формально и пришёл к другому результату. Таким образом различие заключается в том, что в Ньютоне потенциальную энергию выбирают как работа по переносу второго тела из бесконечносьи в точку $r$, а в Кулоне наоборот из $r$ в бесконечность, так? И делается это для того, чтобы притяжение с математической точки зрения совпадало с реально наблюдаемым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 16:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
r0ma в сообщении #1434915 писал(а):
Таким образом различие заключается в том, что в Ньютоне потенциальную энергию выбирают как работа по переносу второго тела из бесконечносьи в точку $r$, а в Кулоне наоборот из $r$ в бесконечность, так?

Нет не так.
В обоих случаях "тащат" пробный заряд из бесконечности (где потенциал принят за ноль) в какую-то точку.
Но
а) в случае Ньютоновской гравитации массы бывают только положительными и они притягиваются, а значит поле совершает положительную работу над телом, а значит потенциал всюду меньше, чем на бесконечности, а значит нужен знак минус.
б) в случае силы Кулона заряды бывают двух разных знаков, и одноименные заряды отталкиваются, а значит (для одноименных зарядов) поле совершает отрицательную работу при перемещении пробного заряда из бесконечности, а значит потенциал всюду больше, чем на бесконечности, и нужен знак плюс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
r0ma в сообщении #1434915 писал(а):
Просто я действовал математически формально и пришёл к другому результату.
Как это в таких случаях водится, неправильному. Вы написали $F = \frac{\alpha}{r^2}$. Сила, вообще-то, вектор. И куда она направлена? Как переписать Вашу формулу "со стрелочками"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 16:16 
Аватара пользователя


10/03/11
208
EUgeneUS в сообщении #1434925 писал(а):
r0ma в сообщении #1434915 писал(а):
Таким образом различие заключается в том, что в Ньютоне потенциальную энергию выбирают как работа по переносу второго тела из бесконечносьи в точку $r$, а в Кулоне наоборот из $r$ в бесконечность, так?

Нет не так.
В обоих случаях "тащат" пробный заряд из бесконечности (где потенциал принят за ноль) в какую-то точку.
Но
а) в случае Ньютоновской гравитации массы бывают только положительными и они притягиваются, а значит поле совершает положительную работу над телом, а значит потенциал всюду меньше, чем на бесконечности, а значит нужен знак минус.
б) в случае силы Кулона заряды бывают двух разных знаков, и одноименные заряды отталкиваются, а значит (для одноименных зарядов) поле совершает отрицательную работу при перемещении пробного заряда из бесконечности, а значит потенциал всюду больше, чем на бесконечности, и нужен знак плюс.

Спасибо! Действительно, по физике что-то не подумал.

-- Пн янв 13, 2020 16:18:13 --

amon в сообщении #1434933 писал(а):
r0ma в сообщении #1434915 писал(а):
Просто я действовал математически формально и пришёл к другому результату.
Как это в таких случаях водится, неправильному. Вы написали $F = \frac{\alpha}{r^2}$. Сила, вообще-то, вектор. И куда она направлена? Как переписать Вашу формулу "со стрелочками"?

Да, всё понял теперь. Конечно же. Спасибо.
Можно ли с физической точки зрения объяснить почему тела с положительной массой притягиваются, а заряды с одинаковыми знаками отталкиваются? Не прибегая к опыту. Законы по математике имеют одинаковый вид, однако силы имеют разное направление при прочих равных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 16:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
r0ma в сообщении #1434937 писал(а):
Можно ли с физической точки зрения объяснить почему тела с положительной массой притягиваются, а заряды с одинаковыми знаками отталкиваются? Не прибегая к опыту.
Не, нельзя. В квантовой теории поля например это объясняется тем, что одно поле имеет чётный спин, а другое нечётный, но в том случае надо постулировать, грубо говоря, само значение спина поля. Именно опыт нам говорит, какие у нас есть вообще поля и с какими свойствами. Они могли быть другие и в другом количестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
r0ma в сообщении #1434937 писал(а):
Можно ли с физической точки зрения объяснить почему тела с положительной массой притягиваются, а заряды с одинаковыми знаками отталкиваются?
Это ведь вопрос соглашения и эксперимента. Ни кто не видел гравитационного отталкивания, но видели электростатическое притяжение и отталкивание. Поэтому нет смысла вводить "гравитационные заряды" разных знаков, но для электрических это вполне осмысленная операция. В том, что для разных взаимодействий работает закон обратных квадратов большого чуда нет. Гук (который, с большой вероятностью, этот закон придумал) "выводил" его так. "Божественная сила неуничтожима и всепроникающа. Тогда количество божественной силы, проходящей через сферы разного диаметра, окружающие источник этой силы одинаково. Поскольку площадь сферы пропорциональна квадрату расстояния, сила должна быть обратно пропорциональна оному."

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциальная энергия. Кулон. Гравитация.
Сообщение13.01.2020, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
r0ma в сообщении #1434909 писал(а):
В обоих случаях у меня получился одинаковый знак потенциально энергии. В учебниках в Ньютоновской потенциальной энергии ставят знак минус. Почему?

Когда вы записали выражение
- вы уже потеряли знак. В векторном виде это выражение записывается как
$$\mathbf{F}=\dfrac{\alpha}{r^3}\mathbf{r}$$ (надеюсь, вас не смущает обозначение вектора полужирным шрифтом - так принято в физике, и так я и буду писать, $\mathbf{r}\equiv\vec{r}$). Теперь уже на этом этапе будет видно, что знаки для закона Кулона и закона Ньютона в числителе разные:
$$\alpha^C=kq_1 q_2\qquad \alpha^N=-Gm_1 m_2.$$
    Кстати, для проверки: есть ещё закон Кулона для магнитных полюсов. Как по-вашему, какой знак будет иметь числитель для этого закона?

Дальше, когда мы двигаем один заряд ($\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r}),$   $U=U(\mathbf{r})$), и считаем его пробным (слишком малым, чтобы влиять на положение других зарядов), то соотношение между силой и потенциальной энергией становится таким:
$$\begin{gathered}\mathbf{F}=-\operatorname{grad}U\qquad\text{то есть}\quad F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x},\quad F_y=-\dfrac{\partial U}{\partial y},\quad F_z=-\dfrac{\partial U}{\partial z}\\ U=-\int dA=-\int\mathbf{F}\,d\mathbf{s}\end{gathered}$$ и интегрирование происходит по какой-то пространственной линии. Только в случае центрального силового поля (сферически-симметричного, и все силы направлены по радиусу), этот интеграл зависит только от расстояний начальной и конечной точки от центра, и упрощается так, как вы его записали.

И наконец, если всё честно проинтегрировать, то получается, действительно,
где константа $\alpha$ со знаком в точности та же, которая стоит в векторном законе для силы $\mathbf{F}.$ Ну а знак мы туда уже заложили.

    (На более глубоком уровне, оказывается, что гравитация возникает иначе, чем кулоновская сила: на языке теории поля, электрическая сила создаётся векторным полем, а гравитация - тензорным полем. Все векторные поля дают закон типа "одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются", а все тензорные поля - "все притягиваются". Но это далеко в перспективе.)

-- 13.01.2020 17:10:10 --

amon в сообщении #1434953 писал(а):
В том, что для разных взаимодействий работает закон обратных квадратов большого чуда нет.

Ну, та же теория поля, стоит сделать шаг в сторону, даёт много разных законов, а не только закон обратных квадратов. Для примера:
- закон Юкавы $U\sim e^{-r/r_0}/r$;
- закон Шварцшильда в первом приближении $U\sim 1/(r-r_0)$;
- закон асимптотической свободы и конфайнмента, который вообще "вывернут наизнанку": на малых расстояниях взаимодействие исчезает, а на больших неограниченно растёт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group