Какая из них Вам кажется сомнительной для множества действительных чисел?
(Оффтоп)
А вообще, тема уже вызывает у меня большие подозрения.
Угу. И если никакая аксиома сомнений не вызывает, то тогда видимо каких-то должно на взгляд ТС не хватать, и тут можно было бы узнать, каких, и разобраться с ними, если тема войдёт в конструктивное русло.
Нас учили следующим образом: определение, во-первых, таково, что правая часть после тире взаимозаменяема со словом "параллелограмм" в любых случаях, что нет ни одного лишнего слова (нельзя сформулировать более кратко) и что ни одно из слов нельзя заменить на другое. И по этим причинам это именно определение. Существенный момент здесь в том, что очень легко понять точность и правильность данной формулировки. К примеру, легко попытаться заменить слово "четырёхугольник" словом "фигура", и становится понятно, что попытка дать такое определение неправильна. Короче, "стресс-тест", изменяя разные части определения, легко провести; очень легко связаны все его части - и, соответственно, всё определение - с непосредственным мироощущением человека.
Нет, вы тут смешали аж как минимум четыре вещи: (1) то, что конструкции естественного языка могут быть иметь слишком много значений или не иметь никакого (от чего большая часть теста), (2) то, что в общении по делу некоторые вещи малоуместны (ср. «максимы Грайса») — это про часть о лишних словах, (3) то, что определение может не признаваться даже будучи выражено формализованным языком (здесь вообще не упомянуто), и (4) то, что определение обычно выбирается чтобы быть применимым — но применимость бывает разная разными людьми, кроме того определения понятий, считающихся одним и тем же понятием, могут быть разными (так что найдутся и другие определения параллелограмма, и вещественных чисел, хотя не обязательно более понятные для вас сразу же); наконец, очевидных понятий per se скорее не существует, очевидные утверждения другое дело.
То, есть ли в тексте определения «лишние слова», можно определить только в предположении, что хорошо известна применимость этого понятия, зачем оно вообще нужно и какие могли бы быть вместо него; какие вещи можно про него доказать, пользуясь минимально чем-то кроме чистой логики — а одним текстом при этом руководствоваться нельзя, тем более если понятие «очевидное». (В гуманитарных курсах логики правда любят насчёт самой логики выдумывать и упрощать, там и появляется путаница сразу многих уровней, на которых располагаются на деле разные вещи. Если вам довелось такой прослушать, жаль.)
Наконец, вещественные числа. Чтобы их определение стало понятным, надо во-первых разобрать, а не хочется ли слишком многого от определения. Кроме того надо понимать, что в каком-то смысле математика настоящей точности начинается в основном только в вузе, и обычно неизбежно внезапное повышение уровня, на котором идут дела. Может, именно оно создаёт такое впечатление, но тут ничего не сделаешь кроме как привыкать к новой местности, гуляя по ней часто и внимательно присматриваясь.
Смысл некоторых вещей вообще трудно как следует осветить до нескольких более глубоких курсов, ведь понятия выбираются из применимости, не обязательно такой, которая в пяти шагах от самого определения понятия — иногда надо пройтись достаточно далеко, потому что у таких конструкций существует объективная сложность. Однако вещественные числа по идее должны быть к концу школы настолько же интуитивными как и параллелограмм, вот тут конечно место тёмное выходит.
И выше я написал о разных определениях. У Зорича вроде аксиоматическое определение. Оно хорошо тем, что мы можем потребовать то, чего хотим, и не большего, и в предположении, что мы не хотели противоречивого, такое определение удобно, потому что не позволит нам в иной раз запутаться в каких-нибудь промежуточных построениях, которые могут быть не нужны. (NB: аксиоматическое определение у
в каком-то смысле единственное, но его оформление в разных курсах в принципе может отличаться, и может быть полезно сравнить с другим.) • Однако кроме этого у
целая куча конструктивных определений (три или более сейчас считаются классическими, но всего их гораздо больше) — таких, которые опираются на нечто, считающееся данным, например рациональные числа и множества, и получает вещественные числа, составляя из тех. Такие определения например явно показывают нам существование определяемого (при условии, что принято существование вещей, из которых строим). Кроме того они хороши, если уровень аксиом оказался слишком высоким для понимания. Вот теперь поскорее проверьте какие-нибудь из них (сечения Дедекинда например), может будет лучше соответствовать интуиции. (Если ничего в итоге не поможет, значит интуиция плохо выработалась или вышла не та, которая была нужна.)
[Фух, надеюсь это в итоге написано не зря и вопрос действительно настоящий.]
