2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 22:38 


11/12/19
5
Действительное число - это элемент строго линейно упорядоченного поля, удовлетворяющего классическим свойствам связи сложения и умножения с отношением порядка и принципу полноты. Это если я всё правильно и точно помню.

Вопрос вот какой. Вот есть определение параллелограмма: "параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны". Нас учили следующим образом: определение, во-первых, таково, что правая часть после тире взаимозаменяема со словом "параллелограмм" в любых случаях, что нет ни одного лишнего слова (нельзя сформулировать более кратко) и что ни одно из слов нельзя заменить на другое. И по этим причинам это именно определение. Существенный момент здесь в том, что очень легко понять точность и правильность данной формулировки. К примеру, легко попытаться заменить слово "четырёхугольник" словом "фигура", и становится понятно, что попытка дать такое определение неправильна. Короче, "стресс-тест", изменяя разные части определения, легко провести; очень легко связаны все его части - и, соответственно, всё определение - с непосредственным мироощущением человека. И получается, что его и учить не надо было, когда задали - всё было ясно и без того, и специально запоминать было невозможно, как и забыть - именно совершенно невозможно. И это именно по причине полного совпадения определения с мироощущением и лёгкости осуществления любого стресс-теста на изменение любой его части.

Определение же множества действительных чисел из учебника В.А. Зорича нужно было именно учить. И почему именно такие выбраны аксиомы, было совершенно непонятно.

Поэтому вопрос в следующем. Как довести себя до такого состояния, чтобы определение множества действительных чисел ощущалось так же, как определение параллелограмма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Вопрос больше подходит для гуманитарного раздела форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Michal в сообщении #1434782 писал(а):
И почему именно такие выбраны аксиомы, было совершенно непонятно.
Собственно, эти аксиомы отражают свойства действительных чисел, используемые в вычислительной практике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 22:47 


11/12/19
5
Утундрий
суть в том, что не выглядит обоснованным выбор именно тех аксиом, которые содержатся в определении.
Не выглядит естественным - и вообще, понятным - определение действительного числа, которое в первой строчке моего поста. По-другому: если вместо "параллелограмм" употреблять "четырёхугольник, у противолежащие стороны параллельны", то любой человек поймёт, что это параллелограмм, даже не очень образованный. Главное здесь не образованность, а вообще знание слова "параллелограмм". А с определением действительного числа такого нет. Вопрос в том, как решить эту проблему.

У Зорича совершенно не обосновано, почему именно то, что он написал, является определением действительных чисел. Такого ощущения, что легко можно провести стресс-тест на изменение любой части, нет.

-- 12.01.2020, 22:47 --

Someone в сообщении #1434785 писал(а):
Michal в сообщении #1434782 писал(а):
И почему именно такие выбраны аксиомы, было совершенно непонятно.
Собственно, эти аксиомы отражают свойства действительных чисел, используемые в вычислительной практике.

Простого ощущения, что это именно так, нет. Это не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Michal
Я о вопросе, как довести себя до состояния раздумий над глубокой внутренней связью между сверлящим свойством взгляда и филологическими характеристиками слова "бетон" (с).

-- Вс янв 12, 2020 23:53:23 --

Michal в сообщении #1434786 писал(а):
Простого ощущения, что это именно так, нет. Это не очевидно.
А оно должно быть? Аксиоматический подход имеет ряд преимуществ перед другими (как и любое воровство в сравнении с честной работой), но вот требовать от него глубокого смысла... Хотя, если его залить водой и подождать, пока взопреет, то может и заколосится из него какой-то смысл (что бы это слово ни значило).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 23:04 


11/12/19
5
Утундрий
ещё раз попробую. Определение параллелограмма легко и понятно, определение действительных чисел - нет. Необходимо понять определение действительных чисел, чтобы оно было таким в этом смысле, как определение параллелограмма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Вот из-за этого
Michal в сообщении #1434790 писал(а):
легко и понятно
и
Утундрий в сообщении #1434784 писал(а):
Вопрос больше подходит для гуманитарного раздела форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 23:13 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Если хотите содержательного определения, то действительные числа - это наибольшая архимедова система величин, подробности в книжке Энгелер "Метаматематика элементарной математики" (несмотря на название, книжка доходчивая).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Michal в сообщении #1434782 писал(а):
строго линейно упорядоченного
Что здесь делает слово "строго"?

Michal в сообщении #1434786 писал(а):
Простого ощущения, что это именно так, нет. Это не очевидно.
Возможно, Вы слишком мало занимались с числами. Вот список аксиом: http://matan.math.msu.su/files/zorich/2%20Uchebnye%20materialy/2%20Chislo.pdf. Какая из них Вам кажется сомнительной для множества действительных чисел?

(Оффтоп)

А вообще, тема уже вызывает у меня большие подозрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение12.01.2020, 23:53 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Michal в сообщении #1434790 писал(а):
Определение параллелограмма легко и понятно, определение действительных чисел - нет
Похоже, благородный дон внезапно обнаружил, что есть в математике вещи посложнее параллелограмма, и это ему активно не нравится... Но таки да, есть.
Список аксиом вам привели. Среди них действительно нет лишних, так что требование значимости каждого слова соблюдено. И да, это определение заметно длиннее определения параллелограмма (хотя, если расписать все используемые сим последним термины «от яйца», как это сделано в аксиомах действительных чисел, получится как бы не поболе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение действительных чисел
Сообщение13.01.2020, 00:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Someone в сообщении #1434795 писал(а):
Какая из них Вам кажется сомнительной для множества действительных чисел?

(Оффтоп)

А вообще, тема уже вызывает у меня большие подозрения.

Угу. И если никакая аксиома сомнений не вызывает, то тогда видимо каких-то должно на взгляд ТС не хватать, и тут можно было бы узнать, каких, и разобраться с ними, если тема войдёт в конструктивное русло.

Michal в сообщении #1434782 писал(а):
Нас учили следующим образом: определение, во-первых, таково, что правая часть после тире взаимозаменяема со словом "параллелограмм" в любых случаях, что нет ни одного лишнего слова (нельзя сформулировать более кратко) и что ни одно из слов нельзя заменить на другое. И по этим причинам это именно определение. Существенный момент здесь в том, что очень легко понять точность и правильность данной формулировки. К примеру, легко попытаться заменить слово "четырёхугольник" словом "фигура", и становится понятно, что попытка дать такое определение неправильна. Короче, "стресс-тест", изменяя разные части определения, легко провести; очень легко связаны все его части - и, соответственно, всё определение - с непосредственным мироощущением человека.
Нет, вы тут смешали аж как минимум четыре вещи: (1) то, что конструкции естественного языка могут быть иметь слишком много значений или не иметь никакого (от чего большая часть теста), (2) то, что в общении по делу некоторые вещи малоуместны (ср. «максимы Грайса») — это про часть о лишних словах, (3) то, что определение может не признаваться даже будучи выражено формализованным языком (здесь вообще не упомянуто), и (4) то, что определение обычно выбирается чтобы быть применимым — но применимость бывает разная разными людьми, кроме того определения понятий, считающихся одним и тем же понятием, могут быть разными (так что найдутся и другие определения параллелограмма, и вещественных чисел, хотя не обязательно более понятные для вас сразу же); наконец, очевидных понятий per se скорее не существует, очевидные утверждения другое дело.

То, есть ли в тексте определения «лишние слова», можно определить только в предположении, что хорошо известна применимость этого понятия, зачем оно вообще нужно и какие могли бы быть вместо него; какие вещи можно про него доказать, пользуясь минимально чем-то кроме чистой логики — а одним текстом при этом руководствоваться нельзя, тем более если понятие «очевидное». (В гуманитарных курсах логики правда любят насчёт самой логики выдумывать и упрощать, там и появляется путаница сразу многих уровней, на которых располагаются на деле разные вещи. Если вам довелось такой прослушать, жаль.)

Наконец, вещественные числа. Чтобы их определение стало понятным, надо во-первых разобрать, а не хочется ли слишком многого от определения. Кроме того надо понимать, что в каком-то смысле математика настоящей точности начинается в основном только в вузе, и обычно неизбежно внезапное повышение уровня, на котором идут дела. Может, именно оно создаёт такое впечатление, но тут ничего не сделаешь кроме как привыкать к новой местности, гуляя по ней часто и внимательно присматриваясь.

Смысл некоторых вещей вообще трудно как следует осветить до нескольких более глубоких курсов, ведь понятия выбираются из применимости, не обязательно такой, которая в пяти шагах от самого определения понятия — иногда надо пройтись достаточно далеко, потому что у таких конструкций существует объективная сложность. Однако вещественные числа по идее должны быть к концу школы настолько же интуитивными как и параллелограмм, вот тут конечно место тёмное выходит.

И выше я написал о разных определениях. У Зорича вроде аксиоматическое определение. Оно хорошо тем, что мы можем потребовать то, чего хотим, и не большего, и в предположении, что мы не хотели противоречивого, такое определение удобно, потому что не позволит нам в иной раз запутаться в каких-нибудь промежуточных построениях, которые могут быть не нужны. (NB: аксиоматическое определение у $\mathbb R$ в каком-то смысле единственное, но его оформление в разных курсах в принципе может отличаться, и может быть полезно сравнить с другим.) • Однако кроме этого у $\mathbb R$ целая куча конструктивных определений (три или более сейчас считаются классическими, но всего их гораздо больше) — таких, которые опираются на нечто, считающееся данным, например рациональные числа и множества, и получает вещественные числа, составляя из тех. Такие определения например явно показывают нам существование определяемого (при условии, что принято существование вещей, из которых строим). Кроме того они хороши, если уровень аксиом оказался слишком высоким для понимания. Вот теперь поскорее проверьте какие-нибудь из них (сечения Дедекинда например), может будет лучше соответствовать интуиции. (Если ничего в итоге не поможет, значит интуиция плохо выработалась или вышла не та, которая была нужна.)

[Фух, надеюсь это в итоге написано не зря и вопрос действительно настоящий.]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group