Школьная и аналитическая геометрии

[SNet]

Существует ли книжка (быть может, на английском), где методами аналитической геометрии выводится всё здание школьной геометрии? Опционально интересует приложение всего этого дела к задачам школьной геометрии. Спасибо!

[pogulyat_vyshel]

Сомневаюсь. Тривиальное слишком упражнение.

[arseniiv]

Достаточно вывести аксиомы (того же Гильберта, или там Тарского, или кого) из аксиом вещественного аффинного пространства с (евклидовым) скалярным произведением, а перевыводить всё остальное в учебнике — коли он строго опирается на аксиоматику, чего трудно достичь и обычно этого нет в полноте — не придётся.

-- Сб янв 11, 2020 23:20:36 --

А, ну ещё потребуется конечно постулировать, что размерность 2 или 3, смотря какая интересует.

[pogulyat_vyshel]

Можно и не останавливаться на аксиомах, большое количество школьных теорем проще выводить методами аналитической геометрии

[vpb]

Чтобы применять аналитическую геометрию к задачам школьной геометрии, надо сначала (а) доказать, что аналитическая геометрия на плоскости ${\mathbb R}^2$ удовлетворяет аксиомам школьной, (б) доказать категоричность школьной геометрии, т.е. то, что она не имеет никакой другой модели, кроме арифметической (т.е., аналитической геометрии), с точностью до изоморфизма. (И то лишь, если мы принимаем аксиому параллельных). А эти два утверждения отнюдь не тривиальны. В частности, (б) требует доказательства многих теорем синтетическими методами.

Кроме того, школьная геометрия включает в себя нечто, относящееся к абсолютной геометрии (без аксиомы параллельных). Скажем, теоремы о равнобедренном треугольнике, прямая и обратная. Т.е., в школьном учебнике, фактически, доказывается не просто "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны (и обратно)", а метаматематическое утверждение
"если выполнены все аксиомы, кроме, возможно, аксиомы параллельных, то у любого равнобедренного треугольника углы при основании равны, и обратно". То есть тут аналитическая геометрия вообще не пишет.

-- 12.01.2020, 07:25 --

Можно еще так сказать: всё здание школьной (т.е., синтетической) геометрии вывести методами аналитической невозможно в принципе, потому, что сначала надо проверить, что аналитическая геометрия адекватна синтетической (иначе говоря, заложить в здание фундамент), а это только изнутри синтетической геометрии и возможно сделать.

Или, иначе, вообще можно встать на такую точку зрения: берем ${\mathbb R}^2$, на этом множестве определяем функцию расстояния по известной формуле, определяем, что такое прямые, и дальше уже пытаемся доказать теоремы (и аксиомы тоже !) из школьного курса применительно ко всем этим объектам. Но это уже будет не школьная геометрия, а исследование некоей другой системы (которую можно назвать "моделью" школьной геометрии).

Самое простое объяснение на этот счет см. в книге Колмогоров, Семенович, Черкасов, Гусев, Геометрия 8, издание 1976 г. , последняя глава. (Не путать с книгой Колмогоров, Семенович, Черкасов, Геометрия 6-8, 1979. ) (Я, вообще, сейчас в соседней теме пишу трактат "Чем плох учебник Колмогрова".)

[angor6]

SNet в сообщении #1434600 писал(а):

Существует ли книжка (быть может, на английском), где методами аналитической геометрии выводится всё здание школьной геометрии? Опционально интересует приложение всего этого дела к задачам школьной геометрии.

По-моему, такой книги на русском языке нет. Однако, в книгах В. Г. Болтянского, написанных для учителей, показывается возможность построения стереометрии на основе аксиоматики Г. Вейля.

[Munin]

vpb в сообщении #1434652 писал(а):

Чтобы применять аналитическую геометрию к задачам школьной геометрии, надо сначала (а) доказать, что аналитическая геометрия на плоскости ${\mathbb R}^2$ удовлетворяет аксиомам школьной, (б) доказать категоричность школьной геометрии, т.е. то, что она не имеет никакой другой модели, кроме арифметической (т.е., аналитической геометрии), с точностью до изоморфизма. (И то лишь, если мы принимаем аксиому параллельных). А эти два утверждения отнюдь не тривиальны. В частности, (б) требует доказательства многих теорем синтетическими методами.

По сути, как я понимаю, пункт (б) означает, что надо доказать на основе аксиом планиметрии:
- что на плоскости можно построить прямоугольную декартову систему координат (достаточно одной);
- что все точки плоскости получают в этой с.к. свои координаты, причём единственным образом;
- что расстояния между точками связаны с координатами известной формулой;
- что прямые из аксиоматики соответствуют линейным одномерным подпространствам ${\mathbb R}^2$ (опять же, биективно);
- что углы из аксиоматики соответствуют чему-то тригонометрическому из ${\mathbb R}^2$ (тут может быть много возни ради аккуратности).

Аналогично в стереометрии, только больше пунктов.

Или речь о чём-то большем?

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1434652 писал(а):

а (а) доказать, что аналитическая геометрия на плоскости ${\mathbb R}^2$ удовлетворяет аксиомам школьной,

по-моему, спрашивали ровно это. И это, действительно, тривиально.

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1434652 писал(а):

(б) доказать категоричность школьной геометрии, т.е. то, что она не имеет никакой другой модели, кроме арифметической (т.е., аналитической геометрии), с точностью до изоморфизма. (И то лишь, если мы принимаем аксиому параллельных). А эти два утверждения отнюдь не тривиальны. В частности, (б) требует доказательства многих теорем синтетическими методами.

Кроме того, школьная геометрия включает в себя нечто, относящееся к абсолютной геометрии (без аксиомы параллельных). Скажем, теоремы о равнобедренном треугольнике, прямая и обратная. Т.е., в школьном учебнике, фактически, доказывается не просто "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны (и обратно)", а метаматематическое утверждение
"если выполнены все аксиомы, кроме, возможно, аксиомы параллельных, то у любого равнобедренного треугольника углы при основании равны, и обратно". То есть тут аналитическая геометрия вообще не пишет.

Чисто формально, это все правильно и очень интересно для узкого круга любителей. А по существу, это еще один аргумент за то, что читать в школе "школьную" геометрию вообще не нужно, а надо читать аналитическую.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1434705 писал(а):

- что прямые из аксиоматики соответствуют линейным одномерным подпространствам ${\mathbb R}^2$ (опять же, биективно);

Лучше аффинным, а то неудобно, когда «линейное» начинает обозначать и то, и это, а потом раз и оказывается что в каком-то случае надо чтобы образ нуля ноль.

Munin в сообщении #1434705 писал(а):

- что углы из аксиоматики соответствуют чему-то тригонометрическому из ${\mathbb R}^2$ (тут может быть много возни ради аккуратности).

В смысле угловые меры, а не углы-фигуры, но углы-фигуры наверно тоже полезно определить. Кстати если их определять как выпуклую комбинацию двух векторов (плюс точку), получатся как раз только углы не больше развёрнутого, вроде углы больше не особо любят в школе.

-- Вс янв 12, 2020 18:19:11 --

Я бы правда считал, что когда мы доказываем, что из аксиом системы А выводятся аксиомы системы Б (буде даны некоторые промежуточные определения), не обязательно (и даже не очень полезно) считать, что это всё «внутри А», это всё же метатеоретическая конструкция, ни в А, ни в Б в данном случае не погружающаяся вообще, потому что они недостаточно для этого сильны.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1434710 писал(а):

А по существу, это еще один аргумент за то, что читать в школе "школьную" геометрию вообще не нужно, а надо читать аналитическую.

А на чём тренировать школьников:
- формально и строго рассуждать?
- работать с аксиоматической системой, отличать факты постулируемые, доказанные и просто "очевидные" (никак не обоснованные)?
Ни один другой школьный предмет этих задач и близко не касается.

arseniiv в сообщении #1434718 писал(а):

Лучше аффинным

В смысле термина - угу.

arseniiv в сообщении #1434718 писал(а):

В смысле угловые меры

Идёт ли речь точно о мерах - это тоже отдельный вопрос.
Я подразумевал числовые величины углов.

arseniiv в сообщении #1434718 писал(а):

Кстати если их определять как выпуклую комбинацию двух векторов

А что, если один или оба вектора нулевые.

arseniiv в сообщении #1434718 писал(а):

вроде углы больше не особо любят в школе.

До "Тригонометрии" в 10-11 классе. Потому что там приходится рассматривать тригонометрические функции на всей числовой прямой.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1434747 писал(а):

Идёт ли речь точно о мерах - это тоже отдельный вопрос.
Я подразумевал числовые величины углов.

Как у них с тем чтобы быть мерами, я не знаю (их же не принято вычислять у произвольных фигур, не меняющихся при гомотетиях с некоторым фиксированным центром), но в школьной геометрии вроде для точности в некоторых местах говорят так (а потом уже почти во всём остальном тексте сокращают до «угол в/равен 83°»). Просто вы упомянули как прямые, так и расстояния, а углы помянули лишь как величины, а не как фигуры, хотя школьная геометрия и как фигуры их много использует.

Munin в сообщении #1434747 писал(а):

А что, если один или оба вектора нулевые.

Да, мне стоило рассмотреть этот случай, надо чтобы не были. Луч кстати хорош и притом отличается от угла только тем, что это выпуклая комбинация одного ненулевого вектора. А вот двугранный угол вещь поинтереснее, тут у нас два вектора могут входить только с неотрицательным весом, а третий с любым, хотя лучше конечно брать этот вид угла как произведение плоского на прямую.

Munin в сообщении #1434747 писал(а):

До "Тригонометрии" в 10-11 классе. Потому что там приходится рассматривать тригонометрические функции на всей числовой прямой.

Да, конечно, но там и не фигуры-углы, там группа $\mathbb R$ (хотя некогда я решил, что этого мало и там аргумент определённого гомоморфизма в $\mathrm{SO}(2,\mathbb R)$, а потом ещё что-то, чтобы учесть, что не обязательно радианные угловые меры в принципе are a thing; а сейчас уже не знаю, стоит ли переосмыслять заново). Помню как радовался, когда стало можно брать любые углы, хотя было ли это в 10 или в 9 классе… ну в любом случае всё там уже поменяли три раза.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1434751 писал(а):

но в школьной геометрии вроде для точности в некоторых местах говорят так

Я боюсь, не "для точности". Хуже того, может быть, по дурной традиции.

arseniiv в сообщении #1434751 писал(а):

Просто вы упомянули как прямые, так и расстояния, а углы помянули лишь как величины, а не как фигуры, хотя школьная геометрия и как фигуры их много использует.

Да. Намеренно. Потому что все фигуры перебирать незачем, и более того, в аксиомах они и не упоминаются. Угол здесь - всего лишь рядовая фигура.

[arseniiv]

Кстати про углы и расстояния: можно же наверно бы объединить проверку их соответствия проверкой скалярного произведения.