Может ли разность кубов быть квадратом?

[serval]

Пусть $l,r,k \in N,\trxt{НОД}\ (l,r)=1$

Может ли разность кубов двух натуральных взаимно простых чисел быть квадратом натурального числа $l^3-r^3=k^2$ и почему?

[B@R5uk]

serval в сообщении #1434191 писал(а):

и почему?

Если может, то очевидно, можно привести какой-нибудь пример и на этом остановиться. Разве нет? Пример можно состряпать, заставив компьютер перебрать первую пару сотен натуральных чисел. Сложнее будет, если примера найти не получится.

-- 09.01.2020, 23:29 --

Если бы в условии допускались бы любые целые числа, а не только натуральные, то напрашивается очевидное решение:

$$1^3-0^3=1^2$$

[Dmitriy40]

Ответ дан в пункте Б) — https://reshimvse.com/zadacha.php?id=11521 (не проверял).
Гугл рулит.

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1434210 писал(а):

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=11521

Рассуждение там как минимум неполное, из $(l - r)(l^2 - lr + r^2) = c^2$ делают вывод что $|l - r| = c$ без дополнительных обоснований.

[B@R5uk]

У топикстартера требование взаимной простоты возводимых в квадрат чисел. Так что решение из интернетов не пойдёт. Хотя начало там хорошее. Я тоже начал похожим образом, хотя потом перешёл к перебору в лоб по новым переменным. Но даже с перебором в лоб требование взаимной простоты везде боков вылазит.

-- 10.01.2020, 00:00 --

mihaild в сообщении #1434211 писал(а):

...без дополнительных обоснований.

Тот вывод совсем неверный, так что никаких обоснований не может быть. Можно представить $c=dg$ и $c^2$ разбить на множители совсем по другому.

[mihaild]

Собственно простой перебор обнаруживает в первой сотне два решения (и еще кучу с не взаимно простыми $l$ и $r$). Интересно, можно ли это решить аналитически какими-то не очень сложными методами.

[serval]

То есть, задача нетривиальна и не имеет общеизвестного решения?

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1434221 писал(а):

Интересно, можно ли это решить аналитически какими-то не очень сложными методами.

Все решения, кроме $a=b+1$, что я нашёл, не удовлетворяют условию взаимной простоты. Те же, что удовлетворяют, образуют довольно простую рекуррентную последовательность.

serval в сообщении #1434222 писал(а):

задача нетривиальна

Смотря что вы подразумеваете под тривиальностью.

[Andrey A]

mihaild в сообщении #1434221 писал(а):

... решить аналитически какими-то не очень сложными методами.

Например так: $\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{1}{1},\dfrac{15}{13},...,\dfrac{p_{n+1}=14p_n-p_{n-1}}{q_{n+1}=14q_n-q_{n-1}},...$ Тут $\left ( \dfrac{p+1}{2} \right )^3-\left ( \dfrac{p-1}{2} \right )^3=q^2.$

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1434226 писал(а):

Все решения, кроме $a=b+1$, что я нашёл, не удовлетворяют условию взаимной простоты

В пределах сотни есть два взаимно простых решения, одно с разницей $1$, другое с большей.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1434232 писал(а):

другое с большей.

$\left(57,38\right)$ ? Оба числа делятся на 19.

-- 10.01.2020, 02:36 --

mihaild, окей, вы меня убедили. Предложенное мною ранее разложение:

B@R5uk в сообщении #1434212 писал(а):

Можно представить $c=dg$ и $c^2$ разбить на множители совсем по другому.

так же не является общим. По этой причине я потерял пару решений до сотни. Но тогда искомых решений три в пределах сотни.

[Dmitriy40]

А у меня три решения, для взаимно простых чисел под кубом до 100. Одно из которых даже до 10, его пожалуй можно найти и "в уме".

[grizzly]

Del.
(что-то пошло не так :)

[Andrey A]

Задача распадается на частные случаи, но если брать фиксированным аргументом $l-r$, ситуация конкретизируется. К примеру $l-r=2$. Тогда $l^2+lr+r^2=2m^2$. Умножая на $4$, получаем $(l-r)^2+3(l+r)^2=8m^2=4+3(l+r)^2$, значит $l+r$ четное. Имеем уравнение $2m^2-3\left ( \dfrac{l+r}{2} \right )^2=1$ неразрешимое по $\mod 8$. Как-то так. Отдельный случай $l-r=3$. Тут единственное решение $2^3-(-1)^3=3^2$.

[Dmitriy40]

Значение $r=1727$ даёт аж три решения, с разными $l$ (взаимно простыми с $r$). С $l$ такого не обнаружил.
Ну и разница есть довольно приличная, например $13009^3-334^3=1483755^2$ или $543026^3-1151^3=400157475^2$.