Возрастание функции

[inevitablee]

Всем привет. Верна ли следующая импликация: функция возрастает в каждой точке сегмента => функция возрастает на всем сегменте. Проблема в том, что ответ, видимо, отрицательный, ибо (вроде как) возрастание функции в точке гарантирует лишь существование окрестности, в которой выполнены нужные условия, т.е нельзя ничего сказать о том, что при увеличении аргумента растет значение функции(для двух произвольных точек сегмента). Однако мне не удается по-другому ответить на один из вопросов к экзамену, он легко решается, если все же предполагать, что возрастание в каждой точке сегмента => возрастание на всем сегменте.

[mihaild]

Пусть функция возрастает в двух пересекающихся областях. Что можно сказать про возрастание функции на их объединении?

[inevitablee]

mihaild
Возрастает.

[mihaild]

Пусть теперь мы покрыли отрезок набором окрестностей, в каждой из которых функция возрастает. Можно ли сказать что-то про глобальное поведение функции на отрезке?

[inevitablee]

mihaild
Что значит "покрыть отрезок набором окрестностей"?

[mihaild]

inevitablee в сообщении #1433143 писал(а):

Что значит "покрыть отрезок набором окрестностей"?

А по какому источнику вы изучаете матан? Это совершенно стандартное выражение, означающее, что задано множество окрестностей, объединение которых содержит отрезок как подмножество.

[inevitablee]

mihaild
Физфак МГУ, первый курс, изучаю по лекциям Е.Е.Букжалева и В.Ф.Бутузова. Понятие покрытия(мельком, в теме "Определенный интеграл") вводилось для точек, но не для отрезков.

[Otta]

inevitablee в сообщении #1433151 писал(а):

изучаю по лекциям Е.Е.Букжалева и В.Ф.Бутузова.

Не нашла. Бутузов отдельно есть.

Но неважно. Не могло быть такого, чтобы понятие покрытия не вводилось: а как жить без теоремы о конечном покрытии?

[inevitablee]

Otta
Последней нам не давали.

[Otta]

inevitablee
Это одна из основных теорема анализа, как без нее-то. Давайте ссылку на учебник.

[inevitablee]

Otta
Учебники здесь есть разные, но на лекциях нам точно этого не давали, на экзамене соответственно тоже нет.

[Otta]

inevitablee в сообщении #1433164 писал(а):

Учебники здесь есть разные, но на лекциях нам точно этого не давали, на экзамене соответственно тоже нет.

Где смотреть вопросы и список учебников?

[demolishka]

Да и без покрытий можно. Пусть функция $f$ рассматривается на отрезке $[a,b]$. Для данной точки отрезка $x \in [a,b]$ рассмотрим множества $G_{x}:=\{ y \in [x,b] \ | \ f(y) < f(x) \}$ и $L_{x}:=\{ y \in [a,x] \ | \ f(y) > f(x) \}$. Рассмотрим величины $r(x):=\inf G_{x}$ и $l(x):=\sup L_{x}$ в предположении, что соответствующие множества не пусты. Что тогда получается?

[Otta]

demolishka
Давайте дождемся ТС, пожалуйста.
Оно, конечно, много чего можно. Но было бы не худо, если бы студент был знаком с вопросами к экзамену. Или хотя бы мог их список предъявить.

А что задачу можно после этого решать разнообразно - кто бы сомневался.

[demolishka]

Otta в сообщении #1433186 писал(а):

Оно, конечно, много чего можно.

Это была бы действительно простая задача (в один ход) если бы ТС знал про компактность отрезка в терминах покрытий. Но в таком виде компактность в анализе не используется и не удивительно, что в вопросах к экзамену ее нет. А на более примитивном языке решение уже требует некоторой изобретательности, на мой взгляд, непосильной для среднего первокурсника (уж тем более физика).

Otta в сообщении #1433186 писал(а):

Давайте дождемся ТС, пожалуйста.

Ну, ждёмс