Возрастание функции

[inevitablee]

Otta
http://math.phys.msu.ru/

В каких-то учебниках наверняка это есть, но этого нет на лекциях и семинарах.

-- 03.01.2020, 16:20 --

demolishka
Края окрестности, которая фигурирует в определении возрастания функции в точке?

[mihaild]

Действительно, Бутузов, по всей видимости, строит курс без леммы Гейне-Бореля, везде где нужно выписывая последовательности явно. Не знаю, насколько это в итоге хорошо получается, но мне не нравится.

inevitablee, тогда совсем просто. Пусть функция не (возрастает на всём сегменте), тогда есть пара точек таких что значение функции в левой не меньше чем значение в правой. Возьмем середину отрезка между ними - значение в ней либо не больше чем в левой (тогда заменим правую на неё), либо не меньше чем в правой (тогда земеним левую на неё). Получили пару точек, на которой так же нарушается монотонность, но точки на вдвое меньшем расстоянии. Повторим бесконечное число раз, получим сходящуюся последовательность. И внимательно посмотрим на поведение функции в предельной точке этой последовательности.

[inevitablee]

mihaild
Поскольку функция возрастает в каждой точке сегмента, то она возрастает в предельной точке указанной последовательности. Тогда есть окрестность этой точки, в которой функция растет справа от нее и убывает слева, т.е эта окрестность представляет собой участок монотонности. Но в любой окрестности этой точки есть участки немонотонности, поскольку мы так строили последовательность. Противоречие.

-- 04.01.2020, 10:13 --

Т.е не немонотонности, а нарушения нужной монотонности (возрастания).

-- 04.01.2020, 10:13 --

Невозрастания, в общем.

[Padawan]

inevitablee
Сформулируйте, пожалуйста, что значит функция возрастает в точке $x$. Мне кажется Вы не правильно это понимаете.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Если функция возрастает везде, то она возрастает всюду. Но следует ли отсюда, что рассматриваемая функция определённо возрастающая?