Две задачи про сопротивления

[EUgeneUS]

DeBill в сообщении #1433006 писал(а):

Да, все, вроде бы, должно получаться. Есть только один нюанс:
при обосновании монотонности, Вы использовали положительность Эрок.
Но как они находятся?

Вопрос справедливый.
Интуитивно понятно, что из неподходящих букв нельзя сложить слово "счастье", но как это доказать?
На самом деле, нам даже не надо доказывать положительность всех сопротивлений в схеме замещения. Будет достаточно доказать, что $R_2 + R_3 \geqslant 0$. И все проблемы (в виде неприятного разрыва в положительной области) пропадут, так как считаем, что $R_H \geqslant 0$ гарантировано.

$R_2 + R_3$ - это сопротивление четырехполюсника со стороны выхода при разомкнутом входе (при $I_1 = 0$), и оно не может быть меньше нуля. Так как в противном случае четырехполюсник будет отдавать энергию при подключении источника к его выходу (при разомкнутом входе).

ЧТД

[DeBill]

EUgeneUS
Рассмотрим условие положительности величины $R_2+R_3$.
Заметим, что имеет место неравенство $R_2R_3\leqslant R_2R_3 +R_2^2$.
Поэтому положительность $R_2+R_3$ равносильна неравенству
$\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\leqslant R_2$.
Но "входное сопротивление при разомкнутой нагрузке равно " (и для четыполюсника, и для исходной сети) $Q_1=R_1+R_2$, а при КЗ равно
$Q_2=R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3} $. Поэтому условие положительности той суммы равносильно условию $Q_1\geqslant Q_2$, что приводит нас к исходной задаче ....

-- 02.01.2020, 00:16 --

Так что, похоже, никакие простые манипуляции нам не помогут, ибо есть они просто тождественные преобразования, не добавляющие никакой информации. А таковая нам нужна, и она содержится в соответствующих физических законах. Попытки обойтись без них - бесплодны.

EUgeneUS в сообщении #1433037 писал(а):

Так как в противном случае четырехполюсник будет отдавать энергию при подключении источника к его выходу (при разомкнутом входе).

А вот это уже и есть, видимо, привлечение этих самых законов (или их следствий) (хотя я, конечно, спрошу - "а почему он не может отдавать?"). Но почему бы тогда не применить это сразу к исходной сети, безо всяких 4-ков?

[EUgeneUS]

DeBill в сообщении #1433042 писал(а):

А вот это уже и есть, видимо, привлечение этих самых законов (или их следствий) (хотя я, конечно, спрошу - "а почему он не может отдавать?").

Потому что в графе из активных сопротивлений отсутствуют источники энергии. Её просто неоткуда брать, чтобы отдавать.

DeBill в сообщении #1433042 писал(а):

Но почему бы тогда не применить это сразу к исходной сети, безо всяких 4-ков?

Почему же нельзя. Можно. Выше же задача была решена без привлечения 4-х-полюсников.
Просто таким методом брюки превращаются в элегантные шорты, а первоначальная задача несложным образом сводится к закону сохранения энергии.

[Emergency]

DeBill в сообщении #1433042 писал(а):

ибо есть они просто тождественные преобразования

А разве нам нужны другие? Цель ведь была доказать очевидное.

[EUgeneUS]

DeBill

К вопросу о положительности сопротивлений в схеме замещения.
С графом возможны следующие действия:
1. Объединение параллельных ребер (соединяющих две одни и те же вершины) в одно ребро.
2. Объединение последовательных ребер (когда к общей для двух ребер вершине не подходят другие ребра) в одно ребро (промежуточная вершина "пропадает").
3. Преобразование треугольник-звезда и обратное.
4. Насколько понимаю, аналогичные преобразования, N-угольник - звезда, можно сделать и для бОльшего ($N>3$) числа вершин.
5. Удаление "висящего ребра" - если к вершине подходит только одно ребро, то это ребро удаляется.

Все эти преобразования не меняют знак сопротивлений: если сопротивление исходных ребер были больше или равны нулю, то и сопротивления преобразованных ребер будут больше или равны нулю.

Гипотеза:
Зафиксируем на графе с конечным числом ребер четыре попарно различные вершины, которые удалять запрещено.
Тогда этот граф путем этих преобразований может быть преобразован к мостовой схеме:

$R_5$ - сопротивление, которое пережигаем.
ИМХО, это какой-то известный результат. Но доказательства прямо сейчас привести не могу