Две задачи про сопротивления

[DeBill]

fred1996
Остается прежний вопрос: почему схема, полученная заменой нашего сопротивления в эквивалентной схеме, эквивалентна исходной схеме с замененным сопротивлением?
Если можно, продемонстрируйте это на примере:
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ заменяем на 2, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

(Оффтоп)

У меня получилось $\frac{12}{7}$ и $\frac{5}{3}$. А что будет при выбрасывании - в Вашем рассуждении?

-- 31.12.2019, 15:50 --

Emergency в сообщении #1432856 писал(а):

Зачем так сложно, если можно выбросить сразу весь граф, заменив его одним эквивалентным сопротивлением?

Ага. И, поскольку понятно, что сопротивление увеличилось, мы видим: да, оно таки увеличилось!

[EUgeneUS]

Emergency в сообщении #1432856 писал(а):

Зачем так сложно, если можно выбросить сразу весь граф, заменив его одним эквивалентным сопротивлением?

На три вообще-то. См. выше мой пост.

-- 31.12.2019, 15:22 --

DeBill в сообщении #1432871 писал(а):

Ага. И, поскольку понятно, что сопротивление увеличилось, мы видим: да, оно таки увеличилось!

Чуть по-другому.
1. Представляем наш граф, как четырехполюсник: два полюса - вход (где измеряем сопротивление) и два полюса - выход, к которому подключено сопротивление, которой пережигаем (оно играет роль нагрузки).
2. Четырехполюсник можно представить в виде эквивалентной схемы из всего трех сопротивлений (вообще говоря комплексных, но в нашем случае - реальных, больше нуля) - в виде Т-образной или П-образной схем. Насколько помню ТОЭ, это следует из того, что цепь является линейной (четыре параметра - входные\выходные ток\напряжение связаны линейно).
3. Далее считаем входное сопротивление четырехполюсника с подключенной и отключенной нагрузкой.
Всё.

[Emergency]

EUgeneUS в сообщении #1432887 писал(а):

На три вообще-то. См. выше мой пост.

Сильно выше и без пояснений. Теперь вижу, что это действительно решение задачи. Просто и со вкусом.

[DeBill]

EUgeneUS в сообщении #1432887 писал(а):

Далее считаем входное сопротивление четырехполюсника с подключенной и отключенной нагрузкой.

И - что?

DeBill в сообщении #1432871 писал(а):

Если можно, продемонстрируйте это на примере:
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ удаляем, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

[amon]

DeBill в сообщении #1429905 писал(а):

Найти сопротивление между соседними узлами бесконечной цепи вида "правильная квадратная решетка"

Ну, давайте и эту задачку погоняем. В общем случае (сопротивление между произвольной парой узлов) она эквивалентна задачке о нахождении потенциалов узлов решетки (или токов по ребрам, что одно и то же) в случае, когда на некотором узле зафиксирован потенциал $U_0,$ а на бесконечности потенциал ноль. Как это решать в общем случае я сходу не соображу. Для соседних узлов все просто, поскольку из симметрии токи по всем ребрам одинаковы.

[Emergency]

DeBill в сообщении #1432871 писал(а):

в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ удаляем, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

Вот так?

[Munin]

amon в сообщении #1432911 писал(а):

В общем случае (сопротивление между произвольной парой узлов) она эквивалентна задачке о нахождении потенциалов узлов решетки (или токов по ребрам, что одно и то же) в случае, когда на некотором узле зафиксирован потенциал $U_0,$ а на бесконечности потенциал ноль.

Увы, там всё хуже. Задать потенциал 0 на бесконечности нельзя. (Нормировка в лучшем случае на поток.)

Почитайте ссылочки, которые я дал в начале темы.

[g______d]

Munin в сообщении #1432928 писал(а):

Увы, там всё хуже. Задать потенциал 0 на бесконечности нельзя. (Нормировка в лучшем случае на поток.)

Почитайте ссылочки, которые я дал в начале темы.

Так там же потенциал на бесконечности как раз убывает,$V=O(1/r)$.

Хотя и не принадлежит $\ell^2$. Причина в том, что у дискретного оператора Лапласа непрерывный спектр. Если мы вне спектра, то элементы функции Грина будут экспоненциально убывать, и будет естественное решение неоднородной задачи, экспоненциально убывающее (все остальные будут экспоненциально растущими). Если мы на спектре, то, действительно, может не быть убывающего решения. Но в данном случае мы на краю спектра. Там есть одно выделенное решение, которое убывает как $1/r$, все остальные либо не убывают, либо растут (но не экспоненциально).

[Munin]

g______d в сообщении #1432930 писал(а):

Так там же потенциал на бесконечности как раз убывает,$V=O(1/r)$.

Это он в трёхмерном случае должен так убывать. А тут двумерный. Логарифм.

[g______d]

Munin в сообщении #1432937 писал(а):

Это он в трёхмерном случае должен так убывать. А тут двумерный. Логарифм.

По-моему, он сокращается, если в правой части $\delta_{n}-\delta_{n-a}$. Но я на всякий случай проверю.

[Munin]

А, тогда я недопонял.

[EUgeneUS]

DeBill в сообщении #1432903 писал(а):

И - что?DeBill в сообщении #1432871

писал(а):
Если можно, продемонстрируйте это на примере:
в цепи имеются 6 ребер с сопротивлением 1 : $AB,BC,CD, AE,EF,FD$, сопротивление $BC$ удаляем, сопротивление меряем между точками $A$ и $D$.

Сначала в общем виде. Используем Т-образную схему замещения четырех полюсника: .
На рисунке указаны импедансы $Z$, но в нашем случае это будут активные сопротивления $R_{1,2,3}$.
Подключим справа нагрузку $R_H$ и посчитаем входное сопротивление:
$R_{Bx} = R_1 + \frac{R_2(R_3 + R_H)}{R_2+(R_3 + R_H)}$

При $R_1, R_3 \geqslant 0$, $R_2 > 0$ функция $R_{Bx}(R_H)$ монотонно возрастает.
При $R_2 = 0$ $R_{Bx}=R_1$ и не зависит от $R_H$.

ЧТД.

$R_{1,2,3}$ можно найти следующим образом:
1. Посчитать три параметра для Т-образной схемы замещения: входное сопротивление при разомкнутой нагрузке, входное сопротивление при КЗ в нагрузке, выходное сопротивление при разомкнутом входе. И выразить $R_{1,2,3}$ через полученные значения.
2. Сделать тоже самое для заданного графа с сопротивлениями.

Это несложно, но громоздко.

С новым годом!

[EUgeneUS]

Upd: только сейчас заметил, что нумерация элементов на картинке отличается от привычного
В формулах и тексте нумерация "слева направо", резистор, который нарисован вертикально, имеет номер $2$.

[DeBill]

EUgeneUS
Да, все, вроде бы, должно получаться. Есть только один нюанс:
при обосновании монотонности, Вы использовали положительность Эрок.
Но как они находятся? Надо:
1.

EUgeneUS в сообщении #1432949 писал(а):

2. Сделать тоже самое для заданного графа с сопротивлениями.

2.

EUgeneUS в сообщении #1432949 писал(а):

Посчитать три параметра для Т-образной схемы замещения: входное сопротивление при разомкнутой нагрузке, входное сопротивление при КЗ в нагрузке, выходное сопротивление при разомкнутом входе.

3.

EUgeneUS в сообщении #1432949 писал(а):

выразить $R_{1,2,3}$ через полученные значения.

И вот теперь надо посмотреть условие их положительности. Как я понимаю, это приведет нас в точности к исходной задаче (возможно, для частного случая: сопротивление в графе при КЗ меньше, чем при размыкании; но есть еще что-то про вых. сопротивление....не проверял)

-- 01.01.2020, 19:57 --

Emergency в сообщении #1432920 писал(а):

Вот так?

Да.
Да, мой пример для такого рассуждения - не есть контрпример (пример строился именно для док-ва fred1996). Да его, типа, и нет. Рассуждение верно, но для всего подхода (с четырехполюсниками) проблема просто переносится на другой уровень - см. мой ответ EUgeneUS: почему четырехполюсник с тремя сопротивлениями, эквивалентный заданному (состоящему из кучи резисторов), состоит из резисторов с положительными сопротивлениями?

[Emergency]

DeBill в сообщении #1433006 писал(а):

почему четырехполюсник с тремя сопротивлениями, эквивалентный заданному (состоящему из кучи резисторов), состоит из резисторов с положительными сопротивлениями?

Потому что задача не имеет смысла для резисторов с отрицательным сопротивлением.