Пример нетривиальной функции

[_Y_]

Хочу предложить участникам данного форума вполне естественный вопрос, заданный вчера во вконтактовском паблике "Ёжик в матане"

Цитата:

Предположим, что функция $f$ имеет конечную первую производную, которая обращается в нуль во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$.

Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?

Вопрос не тривиальный. Мне известно несколько ответов на него. Кому интересно -- подумайте!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Ссылки необязательны.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[EUgeneUS]

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

Мне известно несколько ответов на него.

Странно, что Вам известно несколько ответов на вопрос задачи.

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?

Неизвестно
Но если поставить вопрос более корректно:
"Верно ли, что из приведенных выше условий следует $f =\operatorname{const}$"
то ответ: нет, не верно.
Контрпример строится не сложно. Upd: хотя опять же, как трактовать условие...

[_Y_]

EUgeneUS в сообщении #1432353 писал(а):

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

Мне известно несколько ответов на него.

Странно, что Вам известно несколько ответов на вопрос задачи.

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?

Неизвестно
Но если поставить вопрос более корректно:
"Верно ли, что из приведенных выше условий следует $f =\operatorname{const}$"
то ответ: нет, не верно.
Контрпример строится не сложно. Upd: хотя опять же, как трактовать условие...

Простите, что же в этом странного? Я задал вопрос, ибо хочу обратить внимание участников форума на любопытный факт.

Если пример строится не сложно, буду очень признателен, если Вы его нам построите, т.к. больше знающих людей, к сожалению, не нашлось.

[EUgeneUS]

_Y_
Странно то, что Вы знаете несколько ответов. Это означает, что либо условия задачи настолько расплывчаты, что позволяют многозначную трактовку, либо имеются сомнения, что Вы знаете хоть один ответ.

_Y_ в сообщении #1432438 писал(а):

буду очень признателен, если Вы его нам построите,

В условиях нигде не сказано, что функция должна быть определена на всей числовой прямой. Этим и воспользуемся.

$$f (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} \theta (x - \pi); x \in \mathbb{Q} \\ \text{не определена}; x \in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ \end{array} \right.$$

$\theta$ - функция Хэвисайда.

[gris]

а где хотя бы намёк, что функция действительная

[g______d]

Я думаю, что всё-таки предполагается, что функция определена и дифференцируема во всех точках $\mathbb R$. Формальное определение дифференцируемости в точке предполагает, что функция определена в окрестности этой точки.

Ответ, скорее всего, всё равно да (есть хорошо известный, но довольно сложный пример с похожим свойством, и я практически уверен, что он модифицируется до того, что нужно).

(Оффтоп)

-- Сб, 28 дек 2019 11:49:15 --

Да, так и вышло.

https://math.stackexchange.com/question ... s-constant

-- Сб, 28 дек 2019 11:50:30 --

Цитата:

A non-constant function $f$ with the required properties is given as Exercise 13.J in A. C. M. van Rooij, W. H. Schikhof, A Second Course on Real Functions, based on an example due to Y. Katznelson and Karl Stromberg, in Everywhere differentiable, nowhere monotone, functions, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 349–354

[Утундрий]

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

функция $f$ имеет конечную первую производную, которая обращается в нуль во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$.

Уточните, можно ли воспринимать это высказывание в смысле "Контингенция функции $f(t)$ равна нулю во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$"?

[worm2]

Какая простая формулировка и какое сложное решение! Как я понял, это даже несколько лет было открытой проблемой в начале XX века.

[muspellsson]

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

Цитата:

Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?

Вопрос не тривиальный. Мне известно несколько ответов на него. Кому интересно -- подумайте!

Очевидно (из постановки вопроса), первый ответ "да", второй ответ "нет", а какие еще есть?

[_Y_]

EUgeneUS в сообщении #1432447 писал(а):

_Y_
Странно то, что Вы знаете несколько ответов. Это означает, что либо условия задачи настолько расплывчаты, что позволяют многозначную трактовку, либо имеются сомнения, что Вы знаете хоть один ответ.

_Y_ в сообщении #1432438 писал(а):

буду очень признателен, если Вы его нам построите,

В условиях нигде не сказано, что функция должна быть определена на всей числовой прямой. Этим и воспользуемся.

$$f (x) = \left\{ \begin{array}{rcl} \theta (x - \pi); x \in \mathbb{Q} \\ \text{не определена}; x \in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ \end{array} \right.$$

$\theta$ - функция Хэвисайда.

Скажем так. Мне известно несколько примеров функций, производные которых равны нулю на всюду плотном множестве, но они не константы. Эти примеры достаточно сложные. Возможно, кто-то из участников данного форума сможет придумать что-то проще.

С моей точки зрения, если функция имеет производную в некоторой точке, то негласно предполагается, что она определена в некоторой её окрестности. А значит, если функция имеет производную в каждой рациональной точке, то она определена на $R$. Если кто-то считает иначе, с удовольствием выслушаю комментарий.

рекламная ссылка удалена

-- 29.12.2019, 09:43 --

Утундрий в сообщении #1432454 писал(а):

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):

функция $f$ имеет конечную первую производную, которая обращается в нуль во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$.

Уточните, можно ли воспринимать это высказывание в смысле "Контингенция функции $f(t)$ равна нулю во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$"?

Функция должна быть определена во всех точках $\mathbb R$.

[g______d]

_Y_ в сообщении #1432509 писал(а):

С моей точки зрения, если функция имеет производную в некоторой точке, то негласно предполагается, что она определена в некоторой её окрестности. А значит, если функция имеет производную в каждой рациональной точке, то она определена на $R$. Если кто-то считает иначе, с удовольствием выслушаю комментарий.

"В некоторой окрестности каждой рациональной точки" -- это не то же самое, что на $\mathbb R$.

[_Y_]

g______d в сообщении #1432510 писал(а):

"В некоторой окрестности каждой рациональной точки" -- это не то же самое, что на $\mathbb R$.

Ок. Согласен!

Но, в любом случае, если функция определена только в рациональных точках, то определить производную (в обычном её понимании) в рациональных точках, наверное, нельзя.

В любом случае, см. мой комментарий ниже. Предполагается, что функция должна быть определена на всей прямой $\mathbb R$.

[Pphantom]

_Y_, если первая попытка вставить ссылку на группу имела хоть какое-то подобие обоснования, то вторая - реклама в чистом виде. Не надо так делать.