2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пример нетривиальной функции
Сообщение27.12.2019, 21:44 


27/01/17
35
Хочу предложить участникам данного форума вполне естественный вопрос, заданный вчера во вконтактовском паблике "Ёжик в матане"

Цитата:
Предположим, что функция $f$ имеет конечную первую производную, которая обращается в нуль во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$.

Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?


Вопрос не тривиальный. Мне известно несколько ответов на него. Кому интересно -- подумайте! :-)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.12.2019, 22:57 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Ссылки необязательны.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.12.2019, 23:48 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 02:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
Мне известно несколько ответов на него.


Странно, что Вам известно несколько ответов на вопрос задачи.

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?


Неизвестно :mrgreen:
Но если поставить вопрос более корректно:
"Верно ли, что из приведенных выше условий следует $f =\operatorname{const}$"
то ответ: нет, не верно.
Контрпример строится не сложно. Upd: хотя опять же, как трактовать условие...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 18:51 


27/01/17
35
EUgeneUS в сообщении #1432353 писал(а):
_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
Мне известно несколько ответов на него.


Странно, что Вам известно несколько ответов на вопрос задачи.

_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?


Неизвестно :mrgreen:
Но если поставить вопрос более корректно:
"Верно ли, что из приведенных выше условий следует $f =\operatorname{const}$"
то ответ: нет, не верно.
Контрпример строится не сложно. Upd: хотя опять же, как трактовать условие...


Простите, что же в этом странного? Я задал вопрос, ибо хочу обратить внимание участников форума на любопытный факт.

Если пример строится не сложно, буду очень признателен, если Вы его нам построите, т.к. больше знающих людей, к сожалению, не нашлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 21:14 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
_Y_
Странно то, что Вы знаете несколько ответов. Это означает, что либо условия задачи настолько расплывчаты, что позволяют многозначную трактовку, либо имеются сомнения, что Вы знаете хоть один ответ.

_Y_ в сообщении #1432438 писал(а):
буду очень признателен, если Вы его нам построите,


В условиях нигде не сказано, что функция должна быть определена на всей числовой прямой. Этим и воспользуемся.

$$f (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 \theta (x - \pi); x \in \mathbb{Q} \\
 \text{не определена}; x \in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\
\end{array}
\right.$$
$\theta$ - функция Хэвисайда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
а где хотя бы намёк, что функция действительная

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Я думаю, что всё-таки предполагается, что функция определена и дифференцируема во всех точках $\mathbb R$. Формальное определение дифференцируемости в точке предполагает, что функция определена в окрестности этой точки.

Ответ, скорее всего, всё равно да (есть хорошо известный, но довольно сложный пример с похожим свойством, и я практически уверен, что он модифицируется до того, что нужно).

(Оффтоп)

-- Сб, 28 дек 2019 11:49:15 --

Да, так и вышло.

https://math.stackexchange.com/question ... s-constant

-- Сб, 28 дек 2019 11:50:30 --

Цитата:
A non-constant function $f$ with the required properties is given as Exercise 13.J in A. C. M. van Rooij, W. H. Schikhof, A Second Course on Real Functions, based on an example due to Y. Katznelson and Karl Stromberg, in Everywhere differentiable, nowhere monotone, functions, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 349–354

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
функция $f$ имеет конечную первую производную, которая обращается в нуль во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$.
Уточните, можно ли воспринимать это высказывание в смысле "Контингенция функции $f(t)$ равна нулю во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Какая простая формулировка и какое сложное решение! Как я понял, это даже несколько лет было открытой проблемой в начале XX века.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение28.12.2019, 23:37 
Аватара пользователя


26/09/18
32
Переславль-Залесский
_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
Цитата:
Верно ли, что $f =\operatorname{const}$?


Вопрос не тривиальный. Мне известно несколько ответов на него. Кому интересно -- подумайте! :-)


Очевидно (из постановки вопроса), первый ответ "да", второй ответ "нет", а какие еще есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение29.12.2019, 09:39 


27/01/17
35
EUgeneUS в сообщении #1432447 писал(а):
_Y_
Странно то, что Вы знаете несколько ответов. Это означает, что либо условия задачи настолько расплывчаты, что позволяют многозначную трактовку, либо имеются сомнения, что Вы знаете хоть один ответ.

_Y_ в сообщении #1432438 писал(а):
буду очень признателен, если Вы его нам построите,


В условиях нигде не сказано, что функция должна быть определена на всей числовой прямой. Этим и воспользуемся.

$$f (x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 \theta (x - \pi); x \in \mathbb{Q} \\
 \text{не определена}; x \in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\
\end{array}
\right.$$
$\theta$ - функция Хэвисайда.


Скажем так. Мне известно несколько примеров функций, производные которых равны нулю на всюду плотном множестве, но они не константы. Эти примеры достаточно сложные. Возможно, кто-то из участников данного форума сможет придумать что-то проще.

С моей точки зрения, если функция имеет производную в некоторой точке, то негласно предполагается, что она определена в некоторой её окрестности. А значит, если функция имеет производную в каждой рациональной точке, то она определена на $R$. Если кто-то считает иначе, с удовольствием выслушаю комментарий.

рекламная ссылка удалена

-- 29.12.2019, 09:43 --

Утундрий в сообщении #1432454 писал(а):
_Y_ в сообщении #1432321 писал(а):
функция $f$ имеет конечную первую производную, которая обращается в нуль во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$.
Уточните, можно ли воспринимать это высказывание в смысле "Контингенция функции $f(t)$ равна нулю во всех рациональных точках прямой $\mathbb R$"?


Функция должна быть определена во всех точках $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение29.12.2019, 09:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Y_ в сообщении #1432509 писал(а):
С моей точки зрения, если функция имеет производную в некоторой точке, то негласно предполагается, что она определена в некоторой её окрестности. А значит, если функция имеет производную в каждой рациональной точке, то она определена на $R$. Если кто-то считает иначе, с удовольствием выслушаю комментарий.


"В некоторой окрестности каждой рациональной точки" -- это не то же самое, что на $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение29.12.2019, 09:58 


27/01/17
35
g______d в сообщении #1432510 писал(а):
"В некоторой окрестности каждой рациональной точки" -- это не то же самое, что на $\mathbb R$.


Ок. Согласен!

Но, в любом случае, если функция определена только в рациональных точках, то определить производную (в обычном её понимании) в рациональных точках, наверное, нельзя.

В любом случае, см. мой комментарий ниже. Предполагается, что функция должна быть определена на всей прямой $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример нетривиальной функции
Сообщение29.12.2019, 12:56 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  _Y_, если первая попытка вставить ссылку на группу имела хоть какое-то подобие обоснования, то вторая - реклама в чистом виде. Не надо так делать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group